Question

7．在直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，2），若點(diǎn)N（x，y）的坐標(biāo)滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≥2}\\{2x+y≥6}\end{array}\right.$，求$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的最值．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=3x+2y，從而轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題求最值即可．

解答 解：由題意，$\overrightarrow{OM}$=（3，2），$\overrightarrow{ON}$=（x，y）；
故$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=3x+2y=z，
作平面區(qū)域如下，
，
3x+2y=z可化為y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{z}{2}$；
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=6-2x}\\{x=2-y}\end{array}\right.$解得，
x=4，y=-2；
故結(jié)合圖象可知，
在x=4，y=-2時(shí)，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=3x+2y有最小值3×4+2×（-2）=8；
沒有最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用及簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的問(wèn)題，注意$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=3x+2y看成目標(biāo)函數(shù)即可．