【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=a(x﹣1). (Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),解不等式|f(x)|+|f(﹣x)|≥3x;
(Ⅱ)設(shè)|a|≤1,當(dāng)|x|≤1時(shí),求證: .
【答案】解:( I)當(dāng)a=1時(shí),不等式|f(x)|+|f(﹣x)|≥3x即|x﹣1|+|x+1|≥3x 當(dāng)x≤﹣1時(shí),得1﹣x﹣x﹣1≥3xx≤0,∴x≤﹣1
當(dāng)﹣1<x<1時(shí),得1﹣x+x+1≥3x ,∴
當(dāng)x≥1時(shí),得x﹣1+x+1≥3xx≤0,與x≥1矛盾
綜上得原不等式的解集為 =
(II)證明:|f(x2)+x|=|a(x2﹣1)+x|≤|a(x2﹣1)|+|x|
∵|a|≤1,|x|≤1
∴|f(x2)+x|≤|a|(1﹣x2)+|x|≤1﹣x2+|x|
=
當(dāng) 時(shí)取“=”,得證
【解析】(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),不等式|f(x)|+|f(﹣x)|≥3x即|x﹣1|+|x+1|≥3x,分類討論,即可解不等式|f(x)|+|f(﹣x)|≥3x;(Ⅱ)設(shè)|a|≤1,當(dāng)|x|≤1時(shí),|f(x2)+x|≤|a|(1﹣x2)+|x|≤1﹣x2+|x|,即可證明: .
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握含絕對值不等式的解法:定義法、平方法、同解變形法,其同解定理有;規(guī)律:關(guān)鍵是去掉絕對值的符號(hào)才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=Asin(ωx+ )(ω>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為 的等差數(shù)列,要得到函數(shù)g(x)=Asinωx的圖象,只需將f(x)的圖象( )
A.向左平移 個(gè)單位
B.向右平移 個(gè)單位
C.向左平移 個(gè)單位
D.向右平移 個(gè)單位
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=1n(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)≤0恒成立,試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)證明: 且n>1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)今年初用72萬元購買一套新設(shè)備用于生產(chǎn),該設(shè)備第一年需各種費(fèi)用12萬元,從第二年起,每年所需費(fèi)用均比上一年增加4萬元,該設(shè)備每年的總收入為50萬元,設(shè)生產(chǎn)x年的 盈利總額為y萬元.寫出y與x的關(guān)系式;
①經(jīng)過幾年生產(chǎn),盈利總額達(dá)到最大值?最大值為多少?
②經(jīng)過幾年生產(chǎn),年平均盈利達(dá)到最大值?最大值為多少
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分圖象如圖所示,若將f(x)圖象上的所有點(diǎn)向右平移 個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A.[kπ﹣ ,kπ+ ],k∈Z
B.[2kπ﹣ ,2kπ+ ],k∈Z
C.[kπ﹣ ,kπ+ ],k∈Z
D.[2kπ﹣ ,2kπ+ ],k∈Z
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)m, n是兩條不同的直線,是三個(gè)不同的平面, 給出下列四個(gè)命題:
①若m⊥α,n∥α,則m⊥n;; ②若α∥β, β∥r, m⊥α,則m⊥r;
③若m∥α,n∥α,則m∥n;; ④若α⊥r, β⊥r,則α∥β.
其中正確命題的序號(hào)是 ( )
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
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