Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≤0恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍；
（3）證明： 且n＞1）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，

∴x＞1， ，

∵x＞1，∴當k≤0時， ＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；

當k＞0時，f（x）在（1，1+ ）上是增函數(shù)，在（1+ ，+∞）上為減函數(shù)

（2）解：∵f（x）≤0恒成立，

∴x＞1，ln（x﹣1）﹣k（x1）+1≤0，

∴x＞1，ln（x﹣1）≤k（x﹣1）﹣1，

∴k＞0．

由（1）知，f（x）max=f（1+ ）=ln ≤0，

解得k≥1．

故實數(shù)k的取值范圍是[1，+∞）

（3）證明：令k=1，則由（2）知：ln（x﹣1）≤x﹣2對x∈（1，+∞）恒成立，

即lnx≤x﹣1對x∈（0，+∞）恒成立．

取x=n2，則2lnn≤n2﹣1，

即 ，n≥2，

∴ 且n＞1）

【解析】（1）由f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，知x＞1， ，由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．（2）由f（x）≤0恒成立，知x＞1，ln（x﹣1）≤k（x﹣1）﹣1，故k＞0．f（x）max=f（1+ ）=ln ≤0，由此能求出實數(shù)k的取值范圍．（3）令k=1，能夠推導出lnx≤x﹣1對x∈（0，+∞）恒成立．取x=n2 ， 得到 ，n≥2，由此能夠證明 且n＞1）．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的證明的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學歸納法等．