設(shè)函數(shù)f(x)=alnx+
x-1
x+1
,其中a為常數(shù).
(Ⅰ)若a=0,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專(zhuān)題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y-f(1)=f′(1)(x-1),代入計(jì)算即可.
(Ⅱ)先對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo),即f′(x)=
a
x
+
2
(x+1)2
,考慮函數(shù)g(x)=ax2+(2a+2)x+a,分成a≥0,-
1
2
<a<0,a≤-
1
2
三種情況分別討論即可.
解答: 解:f′(x)=
a
x
+
2
(x+1)2

(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),f′(x)=
2
(x+1)2
,f′(1)=
1
2
,f(1)=0
∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=
1
2
(x-1).
(Ⅱ)(1)當(dāng)a≥0時(shí),由x>0知f′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
(2)當(dāng)a<0時(shí),令f′(x)>0,則
a
x
+
2
(x+1)2
>0,整理得,ax2+(2a+2)x+a>0,
令f′(x)<0,則
a
x
+
2
(x+1)2
<0,整理得,ax2+(2a+2)x+a<0.
以下考慮函數(shù)g(x)=ax2+(2a+2)x+a,g(0)=a<0.△=8a+4=8(a+
1
2
)
,對(duì)稱(chēng)軸方程x=-
a+1
a

①當(dāng)a≤-
1
2
時(shí),△≤0,∴g(x)<0恒成立.(x>0)
②當(dāng)-
1
2
<a<0時(shí),此時(shí),對(duì)稱(chēng)軸方程x=-
a+1
a
>0,
∴g(x)=0的兩根均大于零,計(jì)算得
當(dāng)
-(a+1)+
2a+1
a
<x<
-(a+1)-
2a+1
a
時(shí),g(x)>0;
當(dāng)0<x<
-(a+1)+
2a+1
a
或x>
-(a+1)-
2a+1
a
時(shí),g(x)<0.
綜合(1)(2)可知,
當(dāng)a≤-
1
2
時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
當(dāng)-
1
2
<a<0時(shí),f(x)在(
-(a+1)+
2a+1
a
,
-(a+1)-
2a+1
a
)上單調(diào)遞增,在(0,
-(a+1)+
2a+1
a
),(
-(a+1)-
2a+1
a
,+∞)上單調(diào)遞減;
當(dāng)a≥0時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
點(diǎn)評(píng):導(dǎo)數(shù)是高考中極易考察到的知識(shí)模塊,導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性是本題檢查的知識(shí)點(diǎn),特別是單調(diào)性的處理中,分類(lèi)討論是非常關(guān)鍵和必要的,分類(lèi)討論也是高考中經(jīng)?疾榈乃枷敕椒ǎ
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若函數(shù)f(x),g(x)滿足
1
-1
f(x)g(x)dx=0,則f(x),g(x)為區(qū)間[-1,1]上的一組正交函數(shù),給出三組函數(shù):
①f(x)=sin
1
2
x,g(x)=cos
1
2
x;
②f(x)=x+1,g(x)=x-1;
③f(x)=x,g(x)=x2
其中為區(qū)間[-1,1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是( 。
A、0B、1C、2D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a•2x  ,x≥0
2-x  ,x<0
(a∈R),若f[f(-1)]=1,則a=(  )
A、
1
4
B、
1
2
C、1
D、2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x2+ax(其中無(wú)理數(shù)e=2.71828…,a∈R).
(I)若函數(shù)f(x)在(0,e]上不是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)證明:設(shè)函數(shù)f(x)的圖象在x=x0處的切線為l,證明:f(x)的圖象上不存在位于直線l上方的點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則lna1+lna2+…lna20=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若a>0,b>0,且
1
a
+
1
b
=
ab

(Ⅰ)求a3+b3的最小值;
(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某市為了了解本市2014屆高三學(xué)生的數(shù)學(xué)畢業(yè)考試成績(jī)(滿分100分),隨機(jī)抽取45名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,得到莖葉圖如圖所示,將得分不低于80的稱(chēng)為“優(yōu)秀”.
不優(yōu)秀 優(yōu)秀 合計(jì)
合計(jì)
①根據(jù)已知條件,完成下面的2×2列聯(lián)表,據(jù)此資料你能否有90%的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與性別有關(guān);
②將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,現(xiàn)從該市參加學(xué)業(yè)考試的女學(xué)生中隨機(jī)抽取4名學(xué)生,記被抽取的4名學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)記為ξ,求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
參考公式:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
,n=a+b+c+d.
P(K2≥k0 0.10 0.01 0.005 0.001
k0 2,706 6.635 7.879 10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的焦距為2c,右頂點(diǎn)為A,拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長(zhǎng)為2c,且|FA|=c,則雙曲線的漸近線方程為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
x2+x, x<0
-x2,  x≥0
,若f(f(a))≤2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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