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【題目】已知函數f(x)=4cosωxsin(ωx+ )(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)討論f(x)在區(qū)間[0, ]上的單調性;
(3)當x∈[0, ]時,關于x的方程f(x)=a 恰有兩個不同的解,求實數a的取值范圍.

【答案】
(1)解:f(x)=4cosωxsin(ωx+

=2 sinωxcosωx+2 cos2ωx,

= (sin 2ωx+cos 2ωx)+

=2sin(2ωx+ )+ ,

因為f(x)的最小正周期為π,且ω>0,從而有 =π,

故ω=1


(2)解:由(1)知,f(x)=2sin(2x+ )+ .若0≤x≤ ,則 ≤2x+

≤2x+ ,即0≤x≤ 時,f(x)單調遞增;

≤2x+ ,即 ≤x≤ 時,f(x)單調遞減.

綜上可知,f(x)在區(qū)間[0, ]上單調遞增,在區(qū)間[ ]上單調遞減


(3)解:x∈[0, ]時,關于x的方程f(x)=a 恰有兩個不同的解,

即y=a與函數在[0, ]上,與f(x)=2sin(2x+ )+ 由兩個交點,

由函數圖象可知:a∈[2 ,2+ ),

實數a的取值范圍[2 ,2+


【解析】(1)由兩角和的正弦公式及輔助角公式化簡f(x),根據周期公式即可求得ω的值;(2)由(1)求得f(x)的解析式,根據正弦函數圖象及性質即可判斷函數區(qū)間[0, ]上的單調性;(3)由題意可知y=a與函數在[0, ]上,與f(x)=2sin(2x+ )+ 由兩個交點,根據函數圖象即可求得實數a的取值范圍.

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