【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，點(diǎn)是橢圓上的一個動點(diǎn)，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線交圓:于另一點(diǎn).若的面積為3，求直線的斜率.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意可知：當(dāng)為的短軸頂點(diǎn)時，面積取最大值，又離心率為，則可以列出方程，解出的值即可求出橢圓的方程.（2）首先討論兩條直線中斜率為0和斜率不存在的情況，判斷三角形的面積是否為3；然后討論一般情況，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，分別與橢圓和圓聯(lián)立，用K表示出線段AB的長和點(diǎn)N到直線的距離，表示出的面積，即可求出斜率的值.

解：（1）∵橢圓的離心率為，當(dāng)為的短軸頂點(diǎn)時，

的面積有最大值.

∴,解得，

故橢圓的方程為：.

（2）若的斜率為0，則，，

∴的面積為，不合題意，所以直線的斜率不為0.

設(shè)直線的方程為，

由消去得，

設(shè)，，

則，，

∴.

直線的方程為，即，

∴.

∴的面積，

解得，即直線的斜率為.

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【題目】已知橢圓：（）的一個焦點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，且離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

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（1）若， ，求；

（2）若， ，求數(shù)列的前項和公式；

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【題目】數(shù)列的前項和記為若對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得，則稱是“H數(shù)列”．

（1）若數(shù)列的通項公式，判斷是否為“H數(shù)列”；

（2）等差數(shù)列，公差，，求證：是“H數(shù)列”；

（3）設(shè)點(diǎn)在直線上，其中，．若是“H數(shù)列”，求滿足的條件．

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【題目】數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，；數(shù)列前項和為，滿足，.

（1）求，及數(shù)列，的通項公式；

（2）求.

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【題目】

已知數(shù)列和滿足：,，，其中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù).

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（Ⅱ）證明：當(dāng)時，數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅲ）設(shè)（為實(shí)常數(shù)）,為數(shù)列的前項和.是否存在實(shí)數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

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【題目】如圖：在直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓的左右兩個焦點(diǎn)分別為、.過右焦點(diǎn)與軸垂直的直線與橢圓C相交，其中一個交點(diǎn)為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)橢圓C的一個頂點(diǎn)為，求點(diǎn)M到直線的距離；

（3）過中點(diǎn)的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求長的最大值以及相應(yīng)的直線方程.

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（1）若，求直線的方程；

（2）求三角形面積的最小值.

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