【題目】已知橢圓: 的一個焦點與拋物線的焦點重合,且截拋物線的準線所得弦長為.
(1)求該橢圓的方程;
(2)若過點的直線與橢圓相交于, 兩點,且點恰為弦的中點,求直線的方程.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:(1)由已知條件求出的值,得出橢圓的方程;(2)由“點差法”求出直線的斜率,由直線的點斜式求出直線方程。
試題解析:(1)拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),準線方程為x=﹣1,
∴a2﹣b2=1 ①,
又橢圓截拋物線的準線x=﹣1所得弦長為3,
∴可得上面的交點為(﹣1, ),∴ ②
由①代入②得4b4﹣9b2﹣9=0,解得b2=3或b2= (舍去),
從而a2=b2+1=4,∴該橢圓的方程為
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),代入橢圓方程可得,
3x12+4y12=12,3x22+4y22=12,
相減可得3(x1﹣x2)(x1+x2)+4(y1﹣y2)(y1+y2)=0,
由x1+x2=2,y1+y2=1,可得直線AB的斜率為,
即直線AB的方程為 ,即為3x+2y﹣4=0.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E,F分別是B1C1,AB,AA1的中點.
(1) 求證:EF∥平面A1BD;
(2) 若A1B1=A1C1,求證:平面A1BD⊥平面BB1C1C.
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【題目】已知在平面直角坐標系中,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,以軸為非負半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求圓的普通方程與極坐標方程;
(2)若直線的極坐標方程為,求圓上的點到直線的最大距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某農(nóng)場有一塊等腰直角三角形的空地,其中斜邊的長度為400米.為迎接“五一”觀光游,欲在邊界上選擇一點,修建觀賞小徑,其中分別在邊界上,小徑與邊界的夾角都為.區(qū)域和區(qū)域內(nèi)種植郁金香,區(qū)域內(nèi)種植月季花.
(1)探究:觀賞小徑與的長度之和是否為定值?請說明理由;
(2)為深度體驗觀賞,準備在月季花區(qū)域內(nèi)修建小徑,當(dāng)點在何處時,三條小徑的長度和最?
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【題目】如圖所示,某橋是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l時,拱頂離水面2 m,水面寬4 m.
(1)水位下降1 m后,計算水面寬多少米?
(2)已知經(jīng)過上述拋物線焦點且斜率為2的直線交拋物線于A、B兩點,求A、B兩點間的距離.
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【題目】已知橢圓C: (a>b>0)經(jīng)過點(,1),以原點為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(-1,0)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點,試問在x軸上是否存在一個定點M,使得恒為定值?若存在,求出該定值及點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】為了解某城市居民的月平均用電量情況,隨機抽查了該城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),得到頻率分布直方圖(如圖所示).數(shù)據(jù)的分組依次為、、、、、、.
(1)求頻率分布直方圖中的值;
(2)求該城市所有居民月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值;
(3)在月平均用電量為的四組用戶中,采用分層抽樣的方法抽取戶居民,則應(yīng)從月用電量在居民中抽取多少戶?
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【題目】汽車是碳排放量比較大的交通工具,某地規(guī)定,從2017年開始,將對二氧化碳排放量超過130 g/km的輕型汽車進行懲罰性征稅,檢測單位對甲、乙兩品牌輕型汽車各抽取5輛進行二氧化碳排放量檢測,記錄如下(單位:g/km):
甲 | 80 | 110 | 120 | 140 | 150 |
乙 | 100 | 120 | x | 100 | 160 |
經(jīng)測算得乙品牌輕型汽車二氧化碳排放量的平均值為=120 g/km.
(1)求表中x的值,并比較甲、乙兩品牌輕型汽車二氧化碳排放量的穩(wěn)定性;
(2)從被檢測的5輛甲品牌輕型汽車中任取2輛,則至少有一輛二氧化碳排放量超過130 g/km的概率是多少?
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