Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的圖象在處的切線方程；

（2）討論的單調(diào)性.

Answer 1

【答案】;當時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;

當時, 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;

在區(qū)間,上單調(diào)遞增.

【解析】

根據(jù)題意,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知函數(shù)在處切線的斜率,代入點斜式方程即可求解;

根據(jù)題意,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分和兩種情況,求出所對的的取值范圍,據(jù)此可以判斷函數(shù)的單調(diào)性.

當時,,則,

所以,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,

函數(shù)在處切線的斜率,

所以函數(shù)在點處的切線方程為,

即函數(shù)在點處的切線方程為；

因為函數(shù),

所以,即,

當時, ，因為，

所以,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;

當時,因為方程的兩根為,

所以由，解得或,

由，解得，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;

在區(qū)間,上單調(diào)遞增.

綜上可知, 當時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;

當時, 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;

在區(qū)間,上單調(diào)遞增.