【題目】已知橢圓的離心率為,且拋物線的焦點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于,兩點(diǎn),點(diǎn)滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求四邊形面積的最大值,并求此時(shí)直線的方程.
【答案】(1);(2)平行四邊形OANB的面積最大值為2,直線的方程為.
【解析】
試題本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查考生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、運(yùn)算求解能力. 第一問(wèn),利用橢圓的離心率和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)列出方程,解出a,b,c的值,從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;第二問(wèn),對(duì)直線的斜率進(jìn)行討論,當(dāng)斜率存在時(shí),將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消參,得到關(guān)于x的方程,利用韋達(dá)定理,得到和代入到中,通過(guò)換元法再利用均值不等式求出最大值,從而得到直線方程.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)橢圓的焦距為,∵離心率為,∴,∴,又點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),∴,∴橢圓C的方程為. 4分
(Ⅱ)∵,∴四邊形OANB為平行四邊形,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),顯然不符合題意;
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,直線與橢圓于、兩點(diǎn),由.
由 . 6分
,, 7分
∵,
∴
, 9分
令,則(由上式知),
∴,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),
∴當(dāng)時(shí),平行四邊形OANB的面積最大值為2.
此時(shí)直線的方程為. 12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某零售公司從1月至6月的銷售量與利潤(rùn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
銷售量/萬(wàn)件 | 6 | 8 | 12 | 13 | 11 | 10 |
利潤(rùn)/萬(wàn)元 | 12 | 16 | 26 | 29 | 25 | 22 |
(1)根據(jù)2月至5月4個(gè)月的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),求出關(guān)于的回歸直線方程.(的結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示);
(2)若由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)1萬(wàn)元,則認(rèn)為得到的回歸直線方程是有效的.試用1月和6月的數(shù)據(jù)估計(jì)所得的回歸直線方程是否有效?
參考公式:,.
參考數(shù)據(jù):,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是定義在上的奇函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí), ,若當(dāng)時(shí), 恒成立,求的最小值;
(2)若的圖像關(guān)于對(duì)稱,且時(shí), ,求當(dāng)時(shí), 的解析式;
(3)當(dāng)時(shí), .若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列幾個(gè)命題:①若方程的兩個(gè)根異號(hào),則實(shí)數(shù);②函數(shù)是偶函數(shù),但不是奇函數(shù);③函數(shù) 在上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是;④ 方程 的根滿足,則m滿足的范圍,其中不正確的是( )
A.①B.②C.③D.④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高二年級(jí)組織成語(yǔ)聽(tīng)說(shuō)大賽,每班選10名同學(xué)參賽,要求每位同學(xué)回答5個(gè)成語(yǔ),各位同學(xué)的得分總和算作本班成績(jī),其中一班的張明同學(xué)參賽,他每道題答對(duì)的概率均為,且每道題答對(duì)與否互不影響.計(jì)分辦法規(guī)定為答對(duì)不超過(guò)3個(gè)題時(shí),每答對(duì)一個(gè)得一分,超過(guò)三個(gè),每多答對(duì)一個(gè)得兩分.
(1)求張明至少答對(duì)三道題的概率;
(2)設(shè)張明答完5道題得分為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[2018·龍巖質(zhì)檢]已知, .
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)、為拋物線上的兩點(diǎn),與的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,直線的斜率為.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知點(diǎn),、為拋物線(除原點(diǎn)外)上的不同兩點(diǎn),直線、的斜率分別為,,且滿足,記拋物線在、處的切線交于點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)二次函數(shù)滿足下列條件:當(dāng)時(shí),的最小值為0,且成立;當(dāng)時(shí),恒成立.
(1)求的解析式;
(2)若對(duì),不等式恒成立、求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)求最大的實(shí)數(shù),使得存在實(shí)數(shù),只要當(dāng)時(shí),就有成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高中三年級(jí)的甲、乙兩個(gè)同學(xué)同時(shí)參加某大學(xué)的自主招生,在申請(qǐng)的材料中提交了某學(xué)科10次的考試成績(jī),記錄如下:
甲:78 86 95 97 88 82 76 89 92 95
乙:73 83 69 82 93 86 79 75 84 99
(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù),作出兩人成績(jī)的莖葉圖,并通過(guò)莖葉圖比較兩人本學(xué)科成績(jī)平均值的大小關(guān)系及方差的大小關(guān)系(不要求計(jì)算具體值,直接寫出結(jié)論即可)
(2)現(xiàn)將兩人的名次分為三個(gè)等級(jí):
成績(jī)分?jǐn)?shù) | |||
等級(jí) | 合格 | 良好 | 優(yōu)秀 |
根據(jù)所給數(shù)據(jù),從甲、乙獲得“優(yōu)秀”的成績(jī)組合中隨機(jī)選取一組,求選中甲同學(xué)成績(jī)高于乙同學(xué)成績(jī)的組合的概率.
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