Question

已知方程x²-2ax+b²=0，
（1）若系數a在[0，2]內取值，b在[0，3]內取值，求使方程沒有實根的概率．
（2）若系數a在[0，2]內取值，b在[0，3]內取值，且a∈N，b∈N求使方程沒有實根的概率．

Answer 1

考點：幾何概型,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統計

分析：（1）由a從區(qū)間[0，2]中任取一個數，b從區(qū)間[0，3]中任取一個數得試驗的全部結果構成區(qū)域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，而方程x²-2ax+b²=0沒有實根構成的區(qū)域為M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a＜b}，分別求出兩個區(qū)域面積即可得到概率；
（2）列舉出從a從集{0，1，2}中任取和b從集{0，1，2，3}中任取的基本事件個數，及滿足條件方程沒有實數根的基本事件個數，代入古典概型概率計算公式，可得答案．

解答： 解：（1）由于a從區(qū)間[0，2]中任取一個數，b從區(qū)間[0，3]中任取一個數，
則試驗的全部結果構成區(qū)域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}這是一個矩形區(qū)域，其面積S_Ω=2×3=6，
設“方程x²-2ax+b²=0沒有實根”為事件A
則事件A構成的區(qū)域為M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a＜b}，
即圖中陰影部分的梯形，其面積SM=6-

1

2

×2×2=4
由幾何概型的概率計算公式可得方程x²-2ax+b²=0沒有實根的概率P（A）=

SM

SΩ

=

4

6

=

2

3

；
（2）a從集{0，1，2}中任取和b從集{0，1，2，3}中任取共有3×4=12種不同情況，
分別為：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），
（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），
（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），
這些事件是等可能發(fā)生的
記“方程x²-2ax+b²=0沒有實根”為事件B，即△=4a²-4b²＜0，即a＜b
則事件B中共包括6種不同情況，分別為：
（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，3），
故P（B）=

6

12

=

1

2

即方程x²-2ax+b²=0沒有實根的概率為

1

2

．

點評：本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數的關系，以及幾何概型與古典概型的概率計算，屬于中檔題．