Question

某單位從一所學(xué)校招收某類特殊人才．對20位已經(jīng)選拔入圍的學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動協(xié)調(diào)能力和邏輯思維能力的測試，其測試結(jié)果如下表：

邏輯思維能力 運(yùn)動協(xié)調(diào)能力	一般	良好	優(yōu)秀
一般	2	2	1
良好	4	b	1
優(yōu)秀	1	3	a

例如，表中運(yùn)動協(xié)調(diào)能力良好且邏輯思維能力一般的學(xué)生有4人．由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這20位參加測試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為

2

5

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）從參加測試的20位學(xué)生中任意抽取2位，求其中至少有一位運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率；
（Ⅲ）從參加測試的20位學(xué)生中任意抽取2位，設(shè)運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由表格數(shù)據(jù)可知，運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有（6+a）人．記“從20位學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生”為事件A，事件A的概率即為

2

5

，由此建立方程即可求出a，b．
（Ⅱ）由題意可知，至少有一項(xiàng)能力測試優(yōu)秀的學(xué)生共有8人，求其對立事件的概率，易求至少有一位運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率．
（Ⅲ）ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出其概率列出分布列，利用公式求出期望即可．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)事件A：從20位學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生．
由題意可知，運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有（6+a）人．
則P（A）=

6+a

20

=

2

5

，解得a=2．
所以b=4．                                         …（4分）
（Ⅱ）設(shè)事件B：從20人中任意抽取2人，至少有一位運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生．
由題意可知，至少有一項(xiàng)能力測試優(yōu)秀的學(xué)生共有8人．
則P（B）=1-P（

.

B

）=1-

C 2 12

C 2 20

=

62

95

．                    …（7分）
（Ⅲ）ξ的可能取值為0，1，2．
20位學(xué)生中運(yùn)動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為8人．
所以P（ξ=0）=

C 2 12

C 2 20

=

33

95

，P（ξ=1）=

C 1 12 C 1 8

C 2 20

=

48

95

，P（ξ=2）=

C 2 8

C 2 20

=

14

95

．
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	33 95	48 95	14 95

所以，Eξ=0×

33

95

+1×

48

95

+2×

14

95

=

76

95

=

4

5

．         …（13分）

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，求解問題的關(guān)鍵是正確理解題意以及熟練掌握求概率的方法．