Question

某學(xué)生參加北京某大學(xué)的自主招生考試，須依次參加A、B、C、D四項(xiàng)測(cè)試．如果前三項(xiàng)測(cè)試中有兩項(xiàng)不合格或第四項(xiàng)不合格，則該考生被淘汰，學(xué)生被淘汰或參加完四次測(cè)試考試即結(jié)束．考生未被淘汰時(shí)，必須參加下面的考試，已知每項(xiàng)考試相互獨(dú)立，A、B、C三項(xiàng)考試每項(xiàng)不合格的概率均為

1

3

，第四項(xiàng)考試不合格的概率為

1

4

．
（Ⅰ）求恰好在第三項(xiàng)測(cè)試結(jié)束時(shí)能確定該生被淘汰的概率；
（Ⅱ）求該生被錄取的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）所求即前兩項(xiàng)測(cè)試中恰有一項(xiàng)不合格，且第三項(xiàng)測(cè)試不合格，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可得；
（II）由題意該生被錄取，則第四項(xiàng)考試必須合格，且前3項(xiàng)測(cè)試最多一項(xiàng)不合格，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式和概率的乘法公式可得．

解答： 解：（I）由題意恰好在第三項(xiàng)測(cè)試結(jié)束時(shí)能確定該生被淘汰，
即前兩項(xiàng)測(cè)試中恰有一項(xiàng)不合格，且第三項(xiàng)測(cè)試不合格，
又∵A、B、C三項(xiàng)考試每項(xiàng)不合格的概率均為

1

3

，
∴所求概率為P=

C

1 2

•

1

3

•

2

3

•

1

3

=

4

27

（II）由題意該生被錄取，則第四項(xiàng)考試必須合格，
且前3項(xiàng)測(cè)試最多一項(xiàng)不合格，即3項(xiàng)全幾個(gè)或恰好2項(xiàng)及格，
∴該生被錄取的概率P=（1-

1

4

）[（1-

1

3

）³+

C

2 3

（1-

1

3

）

1

3

]=

5

9

點(diǎn)評(píng)：本題考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好k次發(fā)生的概率，屬中檔題．