Question

【題目】求所有的由實(shí)數(shù)構(gòu)成的有限集合，使得，，且對(duì)中的任意四個(gè)不同的元素、、、都有.

Answer 1

【答案】（、，且，）

【解析】

（1）.

設(shè)，則由，，得，或.

由對(duì)稱性，不妨設(shè).

因?yàn)?/span>，所以，.

故（、是非零實(shí)數(shù)，且，）.顯然，集合滿足題設(shè)條件.

（2）.

則集合除0外還含有至少四個(gè)元素.

（ⅰ）若中至少有四個(gè)正數(shù)，設(shè)中最大元素為，且，則

，且，這不可能.

（ⅱ）若中至少有四個(gè)負(fù)數(shù)，設(shè)中的最小數(shù)是，且，則

，且，這不可能.

（ⅲ）若中有不少于兩個(gè)正數(shù)、兩個(gè)負(fù)數(shù)，設(shè)中最大元素為，且設(shè)，，，，則，且，這不可能.

（ⅳ）若中只有三個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)，設(shè)這四個(gè)數(shù)滿足，則同（1）知、、中有且只有一個(gè)為1.不妨設(shè).則，且，這不可能.

（ⅴ）若中只有三個(gè)負(fù)數(shù)一個(gè)正數(shù)，同（ⅳ）可得矛盾.

綜上，（、，且，）.