【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,,四邊形ACEF為正方形,且平面平面ACEF.

(1)證明:;

(2)求平面BEF與平面BCF所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析 (2) .

【解析】

（1）利用余弦定理得到，證明，，得到平面ACEF得到答案.

（2）分別以AB,AC,AF所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面BEF的一個(gè)法向量，平面BCF的一個(gè)法向量為，計(jì)算夾角得到答案.

(1)在平行四邊形ABCD中,,

在中,由余弦定理得:,

即,

由,

所以

又四邊形ACEF為正方形,所以,

又平面平面ACEF,平面平面ACEF=AC

所以平面ABCD,所以,

又，所以平面ACEF,平面ACEF

所以.

(2)由AB,AC,AF兩兩垂直,分別以AB,AC,AF所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則

設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量,,

則取

同理可得平面BCF的一個(gè)法向量為

設(shè)平面BEF與平面BCF所成銳二面角的平面角為,

則.

平面BEF與平面BCF所成銳二面角的余弦值為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，E，F分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）點(diǎn)G是線段上一動(dòng)點(diǎn)，若與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校為了學(xué)生的健康,對(duì)課間操活動(dòng)做了如下規(guī)定:課間操時(shí)間若有霧霾則停止課間操,若無霧霾則組織課間操.預(yù)報(bào)得知,在未來一周從周一到周五的課間操時(shí)間出現(xiàn)霧霾的概率是:前3天均為,后2天均為,且每一天出現(xiàn)霧霾與否是相互獨(dú)立的.

(1)求未來5天至少一天停止課間操的概率;

(2)求未來5天組織課間操的天數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)隨機(jī)抽取部分高一學(xué)生調(diào)查其每日自主安排學(xué)習(xí)的時(shí)間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中自主安排學(xué)習(xí)時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，．

（Ⅰ）求直方圖中的值；

（Ⅱ）從學(xué)校全體高一學(xué)生中任選名學(xué)生，這名學(xué)生中自主安排學(xué)習(xí)時(shí)間少于分鐘的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．（以直方圖中的頻率作為概率）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下面有5個(gè)命題：

①函數(shù)的最小正周期是；

②終邊在軸上的角的集合是；

③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)；

④把函數(shù)的圖象向右平移得到的圖象；

⑤角為第一象限角的充要條件是．

其中，真命題的編號(hào)是______（寫出所有真命題的編號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F2，離心率為，過F1的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且△MNF2的周長(zhǎng)為8．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線y＝kx＋b與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，試問點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值，證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且0，若過 A，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，過定點(diǎn) M（0，2）的直線與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)（點(diǎn)G在點(diǎn)M，H之間）.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線的斜率，在x軸上是否存在點(diǎn)P（，0），使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由；（Ⅲ）若實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍．

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【題目】已知直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若，求實(shí)數(shù)的值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱?若存在，求的值；若不存在，說明理由.

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【題目】如圖，我海監(jiān)船在島海域例行維權(quán)巡航，某時(shí)刻航行至處，此時(shí)測(cè)得其北偏東方向與它相距海里的處有一外國(guó)船只，且島位于海監(jiān)船正東海里處．

（1）求此時(shí)該外國(guó)船只與島的距離；

（2）觀測(cè)中發(fā)現(xiàn)，此外國(guó)船只正以每小時(shí)海里的速度沿正南方航行．為了將該船攔截在離島海里的處（在的正南方向），不讓其進(jìn)入島海里內(nèi)的海域，試確定海監(jiān)船的航向，并求其速度的最小值（角度精確到，速度精確到海里/小時(shí)）．

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