Question

【題目】已知直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若，求實(shí)數(shù)的值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得兩點(diǎn)關(guān)于對稱?若存在，求的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析

【解析】

（1）將直線的方程代入雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得的值；

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，根據(jù)直線的斜率關(guān)系求得的值，由（1）求得，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求得的中點(diǎn)坐標(biāo)，驗(yàn)證中點(diǎn)是否在直線上．

解：（1）直線與雙曲線聯(lián)立，消去得①，

由，且，

得，且；設(shè)，、，，

由，所以，又，，

，

，

即，

，解得．

經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題目條件，

，求實(shí)數(shù)的值；

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使、關(guān)于對稱，則直線與垂直，．

直線的方程為．將代入③得，

中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為．

但中點(diǎn)不在直線上，

即不存在實(shí)數(shù)，使得、關(guān)于直線對稱．