Question

在平面直角坐標系xOy中，動點P（x，y）到F（0，1）的距離比到直線y=-2的距離小1．
（Ⅰ）求動點P的軌跡W的方程；
（Ⅱ）過點E（0，-4）的直線與軌跡W交于兩點A，B，點D是點E關于x軸的對稱點，點A關于y軸的對稱點為A₁，證明A₁，D，B三點共線．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由動點P（x，y）到F（0，1）的距離比到直線y=-2的距離小1，可得動點P（x，y）到F（0，1）的距離等于它到直線y=-1的距離，利用拋物線的定義，即可求動點P的軌跡W的方程；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx-4，代入拋物線方程，求出直線A₁B的方程，證明直線A₁B過點D（0，4），可證A₁，D，B三點共線．

解答： （Ⅰ）解：∵動點P（x，y）到F（0，1）的距離比到直線y=-2的距離小1，
∴動點P（x，y）到F（0，1）的距離等于它到直線y=-1的距離，
∴動點P的軌跡W是以F（0，1）為焦點的拋物線，其方程為x²=4y；
（Ⅱ）證明：設直線l的方程為y=kx-4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A₁（-x₁，y₁），
由

y=kx-4 x2=4y

消去y可得x²-4kx+16=0，
則△=16k²-64＞0，即|k|＞2，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=16．
直線A₁B：y-y2=

y2-y1

x2+x1

(x-x2)，
∴y=

x22-x12

4(x1+x2)

(x-x2)+

1

4

x22，
∴y=

x2-x1

4

x+

x1x2

4

，
∴y=

x2-x1

4

x+4，
∴直線A₁B過點D（0，4），
∴A₁，D，B三點共線．

點評：本題考查拋物線的定義與方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，確定直線A₁B的方程是關鍵．