Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形，直線l：y=x+m與軌跡C交于不同的兩點P和Q．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)m，使

OP

•

OQ

=0？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題設條件2b=2c，即b=c，b²=4，a²=b²+c²=8，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

y=x+m x2 8 + y2 4 =1

，得3x²+4mx+2m²-8=0，由此利用根的判別式和韋達定理能求出存在常數(shù)m，使

OP

•

OQ

=0．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，
以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形，
∴2b=2c，即b=c，
正方形的面積=b²+c²=2b²=8，
∴b²=4，a²=b²+c²=8，
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）∵y=x+m與軌跡C交于不同的兩點P和Q，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴

y=x+m x2 8 + y2 4 =1

，消去y，并整理，得：
3x²+4mx+2m²-8=0，
∴x₁+x₂=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-8

3

，
∴y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）
=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²
=

m2-8

3

，
∵

OP

•

OQ

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=

2m2-8

3

+

m2-8

3

=0，
解得m=±

4 3

3

．
△=16m²-24m²+96＞0．
解得-2

3

＜m＜2

3

，
∴m=±

4 3

3

滿足條件．
∴存在常數(shù)m，使

OP

•

OQ

=0，m=±

4 3

3

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查使數(shù)量積為0的常數(shù)值是否存在的判斷，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．