Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)和圓O：x²+y²=a²，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）分別是橢圓的左、右兩焦點(diǎn)，過(guò)F₁且傾斜角為α(α∈(0，

π

2

])的動(dòng)直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交圓O于P，Q兩點(diǎn)（如圖所示，
點(diǎn)A在軸上方）．當(dāng)α=

π

4

時(shí)，弦PQ的長(zhǎng)為

14

．
（1）求圓O和橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)M是橢圓C上一點(diǎn)，求當(dāng)AF₂，BF₂，AB成等差數(shù)列時(shí)，△MPQ面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）取PQ的中點(diǎn)D，連接OD，OP，求出OD，利用弦PQ的長(zhǎng)為

14

，求出OQ，可得a，b，即可求圓O和橢圓C的方程；
（2）設(shè)|AF₂|=s，|BF₂|=t，利用AF₂，BF₂，AB成等差數(shù)列，求出t，設(shè)B（x₀，y₀），則由

(x0-1)2+y02= 64 9 x02 4 + y02 3 =1

，得B的坐標(biāo)，可得PQ的方程，求出PQ，橢圓C上一點(diǎn)到直線PQ的距離的最大值，即可求△MPQ面積的最大值．

解答： 解：（1）取PQ的中點(diǎn)D，連接OD，OP，
由α=

π

4

，c=1，可得OD=

2

2

，
∵弦PQ的長(zhǎng)為

14

，
∴OQ2=

PQ2

4

+OD2=4，
∴a²=4，b²=3，
∴圓O的方程為x²+y²=4，橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)|AF₂|=s，|BF₂|=t，則
|AF₁|+|AF₂|=2a=4，|BF₁|+|BF₂|=2a=4，
∵AF₂，BF₂，AB成等差數(shù)列，
∴2t=s+8-s-t，
∴t=

8

3

，
設(shè)B（x₀，y₀），則由

(x0-1)2+y02= 64 9 x02 4 + y02 3 =1

，得B（-

4

3

，-

15

3

），
∴k=

15

，
∴PQ：y=

15

（x+1）
∴O到PQ的距離為d=

15

4

，
∴PQ=2

4- 15 16

=

7

2

，
又∵橢圓C上一點(diǎn)到直線PQ的距離的最大值為

3 7 + 15

4

，
∴△MPQ面積的最大值

1

2

•

7

2

•

3 7 + 15

4

=

21 7 +7 15

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓和橢圓的方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．