Question

【題目】有以下命題：
①對任意的α∈R都有sin3α=3sinα﹣4sin3α成立；
②對任意的△ABC都有等式a=bcosA+ccosB成立；
③滿足“三邊是連續(xù)的三個正整數(shù)且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一；
④若A，B是鈍角△ABC的二銳角，則sinA+sinB＜cosA+cosB．
其中正確的命題的個數(shù)是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：①對任意的α∈R都有sin3α=sin（α+2α）
=sinαcos2α+cosαsin2α
=sinα（cos2α﹣sin2α）+2sinαcos2α
=sinα（1﹣2sin2α）+2sinα（1﹣sin2α）
=3sinα﹣4sin3α，
故①正確；
②對任意的△ABC都有 =2R，
∴a=2RsinA
=2Rsin（B+C）
=2RsinBcosC+2RsinCcosB
=bcosC+ccosB，
故②正確；
③假設存在正整數(shù)k、k+1、k﹣1分別為三角形ABC的三邊長，
且其對應的角分別為A、B、C，
∴ =2R，
∵B=2C，
∴sinB=sin2C=2sinCcosC，
∴ = ，即cosC= + ，
又∵C＜A＜B，即C＜A＜2C，
∴36°＜C＜45°，
∴ ＜cosC＜ ，即 ＜ + ＜ ，
∴ ﹣ ＜ ＜ ﹣ ，
∴ +1＜k﹣1＜ 2，
∴ +2＜k＜ 3，
∴k=4或k=5，
經(jīng)檢驗可知當k=5時不滿足題意，
故③正確；
④∵A，B是鈍角△ABC的二銳角，
∴A+B＜90°，
∴0°＜B＜90°﹣A＜90°，
∴sinB＜sin（90°﹣A）=cosB，
同理cosA＞cos（90°﹣B）=sinA，
∴sinA+sinB＜cosA+cosB，
故④正確；
故選：A．
【考點精析】通過靈活運用命題的真假判斷與應用，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系即可以解答此題．