Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若對(duì)恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）求得時(shí)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，可得切線方程；（Ⅱ）若對(duì)恒成立，即為對(duì)恒成立，設(shè)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、極大值即最大值，可得的范圍；（Ⅲ）若存在零點(diǎn)，即關(guān)于的方程有解，可得有解，由的單調(diào)性，即可得證．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

所以，

所以切線方程為

（Ⅱ）對(duì)恒成立

等價(jià)于，即恒成立

設(shè)，則

由解得

與在區(qū)間上的情況如下

		0
	增	極大	減

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.

函數(shù)在處取得極大值（也是最大值）

所以，即的取值范圍是

（Ⅲ）若函數(shù)存在零點(diǎn)，則關(guān)于的方程有解，

即方程有解，

由（Ⅱ）可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

所以若方程有解，則在上僅有一個(gè)解，

即若存在零點(diǎn)，則在上僅有一個(gè)零點(diǎn).