Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+x﹣lnx，（a＞0）． （Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)f（x）極值點為x0 ， 若存在x1 ， x2∈（0，+∞），且x1≠x2 ， 使f（x1）=f（x2），求證：x1+x2＞2x0 ．

Answer 1

【答案】解：（ I）f（x）定義域為（0，+∞）， f′（x）= ，
∵a＞0，∴方程f′（x）=0有兩個實根x1= ＜0，x2= ＞0，
當x∈（0，x2）時，f′（x）＜0，當x∈（x2 ， +∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（ ，+∞）減區(qū)間為（0， ）
（ II）要證x1+x2＞2x0 ， 需證 ．
由（ I）知， ，f′（x）=2ax+1﹣ 在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴只需證f′（ ）>0
不妨設(shè)x2＞x1＞0
由已知得 = ，=[a（x2+x1）+1]（x2﹣x1）﹣（lnx2﹣lnx1）=0
∴
∵
∴
法1： =
令
∴ ，∴g（x）在（0，x2）單調(diào)遞減，
∴g（x1）＞g（x2）=0，
又 ，∴ 成立．∴結(jié)論成立．
法2：f′（ ）= ．
設(shè) ， ．∵ ，
∴g（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，∴g（t）＞g（1）=0，
即 ，
又∵ ，∴f′（ ）＞0成立．
∴結(jié)論成立
【解析】（Ⅰ）先求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，在定義域下令導函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間．即可求出單調(diào)減區(qū)間．（Ⅱ）要證x1+x2＞2x0 ， 需證 ．由（ I）知， ，f′（x）=2ax+1﹣ 在（0，+∞）上單調(diào)遞增，只需證f′（ ）>0．
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．