【題目】已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)當時,函數(shù)圖象上的點都在所表示的平面區(qū)域內,求實數(shù)的取值范圍。
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,4]上單調遞減等價于其導數(shù)在區(qū)間[2,4]上恒成立,只需求在[2,4]上的最小值即可;
(2)題意可化為當x∈[1,+∞)時,不等式f(x)≤x恒成立,即a(x﹣1)2+lnx﹣x+1≤0恒成立,設g(x)=a(x﹣1)2+lnx﹣x+1(x≥1),只需g(x)max≤0即可,下面用導數(shù)求解g(x)的最大值.
解:(1)
因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞減
在區(qū)間上恒成立,
即在上恒成立
只需不大于在上的最小值即可
當時,
即,故實數(shù)的取值范圍是
(2)因為圖象上的點都在所表示的平面區(qū)域內
即當時,不等式恒成立
即恒成立
設只需
既可
由
⑴當時,,當時,
函數(shù)在上單調遞減,故成立
⑵當時,由
令得
①若,即時,在區(qū)間上
在上單調遞增,函數(shù)在上無最大值,不滿足條件
②若,時
函數(shù)在上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,
同樣在上無最大值,不滿足條件
⑶當時,
因為,故則函數(shù)在上單調遞減,
故成立
綜上所述,實數(shù)的范圍是
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】圍建一個面積為360m2的矩形場地,要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修),其它三面圍墻要新建,在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口,已知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元/m,設利用的舊墻的長度為x(單位:m),(1)將y表示為x的函數(shù)(2)試確定x , 使修建此矩形場地圍墻的總費用最小,并求出最小總費用
(1)將y表示為x的函數(shù):
(2)試確定x , 使修建此矩形場地圍墻的總費用最小,并求出最小總費用.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設f(x)="xln" x–ax2+(2a–1)x,aR.
(Ⅰ)令g(x)=f'(x),求g(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)已知f(x)在x=1處取得極大值.求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知中心在原點,焦點在軸上,離心率為的橢圓過點.
(1)求橢圓方程;
(2)設不過原點O的直線,與該橢圓交于P、Q兩點,直線OP、OQ的斜率依次為,滿足,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解人們對城市治安狀況的滿意度,某部門對城市部分居民的“安全感”進行調查,在調查過程中讓每個居民客觀地對自己目前生活城市的安全感進行評分,并把所得分作為“安全感指數(shù)”,即用區(qū)間[0,100]內的一個數(shù)來表示,該數(shù)越接近100表示安全感越高.現(xiàn)隨機對該地區(qū)的男、女居民各500人進行了調查,調查數(shù)據如表所示:
安全感指數(shù) | [0,20) | [20,40) | [40,60) | [60,80) | [80,100] |
男居民人數(shù) | 8 | 16 | 226 | 131 | 119 |
女居民人數(shù) | 12 | 14 | 174 | 122 | 178 |
根據表格,解答下面的問題:
(Ⅰ)估算該地區(qū)居民安全感指數(shù)的平均值;
(Ⅱ)如果居民安全感指數(shù)不小于60,則認為其安全感好.為了進一步了解居民的安全感,調查組又在該地區(qū)隨機抽取3對夫妻進行調查,用X表示他們之中安全感好的夫妻(夫妻二人都感到安全)的對數(shù),求X的分布列及期望(以樣本的頻率作為總體的概率).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+x﹣lnx,(a>0). (Ⅰ)求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)設f(x)極值點為x0 , 若存在x1 , x2∈(0,+∞),且x1≠x2 , 使f(x1)=f(x2),求證:x1+x2>2x0 .
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【題目】《九章算術》中,將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖,在陽馬P﹣ABCD中,側棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,過棱PC的中點E,作EF⊥PB交PB于點F,連接DE,DF,BD,BE.
(1)證明:PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑,若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結論);若不是,說明理由;
(2)若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 ,求 的值.
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【題目】公元前3世紀,古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出:“球的體積(V)與它的直徑(d)的立方成正比”,此即V=kd3 , 與此類似,我們可以得到: ⑴正四面體(所有棱長都相等的四面體)的體積(V)與它的棱長(a)的立方成正比,即V=ma3;
⑵正方體的體積(V)與它的棱長(a)的立方成正比,即V=na3;
⑶正八面體(所有棱長都相等的八面體)的體積(V)與它的棱長(a)的立方成正比,即V=ta3;
那么m:n:t=( )
A.1:6 :4
B. :12:16
C. :1:
D. :6:4
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