Question

（1）求以原點為頂點，坐標(biāo)軸為對稱軸，并且經(jīng)過P（-2，-4）的拋物線方程．
（2）設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，點A（0，2）．若線段FA的中點B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離是多少？

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）對稱軸分為是x軸和y軸兩種情況，分別設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px和x²=-2py，然后將M點坐標(biāo)代入即可求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)拋物線方程可表示出焦點F的坐標(biāo)，進(jìn)而求得B點的坐標(biāo)代入拋物線方程求得p，則B點坐標(biāo)和拋物線準(zhǔn)線方程可求，進(jìn)而求得B到該拋物線準(zhǔn)線的距離．

解答： 解：（1）拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸是x軸，并且經(jīng)過點 （-2，-4），
設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=-2px（p＞0）
∴16=4p，解得p=4，
∴y²=-8x．
拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸是y軸，并且經(jīng)過點 （-2，-4），
設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=-2py（p＞0）
∴4=-8p，
解得：p=-

1

2

．
∴x²=-y
綜上所述，拋物線方程為：y²=-8x或x²=-y；
（2）依題意可知F坐標(biāo)為（

p

2

，0）
∴B的坐標(biāo)為（

p

4

，1）代入拋物線方程解得p=

2

，
∴拋物線準(zhǔn)線方程為x=-

2

2

，
∴點B到拋物線準(zhǔn)線的距離為

2

4

+

2

2

=

3 2

4

，
則B到該拋物線焦點的距離為

3 2

4

．

點評：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，解題過程中要注意對稱軸是x軸和y軸兩種情況作答，屬于基礎(chǔ)題．