Question

已知，如圖，AB是圓O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)A，AC=AB，CO交⊙O于點(diǎn)P，CO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F，BP的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)E．
（Ⅰ）求證：FA∥BE：；
（Ⅱ）求證：

AP

PC

=

FA

AB

；
（Ⅲ）若⊙O的直徑AB=2，求tan∠CPE的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定,與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（I）利用圓的性質(zhì)、平行線的判定定理即可得出；
（II）利用弦切角定理可證明△APC∽△FAC，進(jìn)而得出；
（III）利用割線定理可得AC²=CP•CF=CP•（CP+PF），解得CP．再利用（2）中的結(jié)論

AP

FA

=

PC

AC

，及在Rt△FAP中，tan∠F=

AP

FA

=

PC

AC

即可得出．

解答： （I）證明：在⊙O中，∵直徑AB與FP交于點(diǎn)O，
∴OA=OF．
∴∠OAF=∠F．
∵∠B=∠F，
∴∠OAF=∠B．
∴FA∥BE．
（2）∵AC為⊙O的切線，PA是弦，
∴∠PAC=∠F．
∵∠C=∠C，
∴△APC∽△FAC．∴

AP

FA

=

PC

AC

．
∴

AP

PC

=

FA

AC

．
∵AB=AC，
∴

AP

PC

=

FA

AB

．
（3）∵AC切⊙O于點(diǎn)A，CPF為⊙O的割線，則AC²=CP•CF=CP•（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4．
整理得CP²+2CP-4=0，
解得CP=-1±

5

．
∵CP＞0，∴CP=

5

-1
∵FA∥BE，∴∠CPE=∠F．
∵FP為⊙O的直徑，∴∠FAP=90°．
由（2）中證得

AP

FA

=

PC

AC

，
在Rt△FAP中，tan∠F=

AP

FA

=

PC

AC

=

5 -1

2

．
∴tan∠CPE=tan∠F=

5 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的性質(zhì)、平行線的判定定理、弦切角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)定理、圓的割線定理、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．