Question

已知函數(shù)y=f（x）（x∈R），對(duì)函數(shù)y=g（x）（x∈I），定義g（x）關(guān)于f（x）的“對(duì)稱函數(shù)”為函數(shù)y=h（x）（x∈I），y=h（x）滿足：對(duì)任意x∈I，兩個(gè)點(diǎn)（x，h（x）），（x，g（x））關(guān)于點(diǎn)（x，f（x））對(duì)稱．若h（x）是g（x）=

4-x2

關(guān)于f（x）=3x+b的“對(duì)稱函數(shù)”，且h（x）＞g（x）恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)對(duì)稱函數(shù)的定義，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為直線和圓的位置關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：根據(jù)“對(duì)稱函數(shù)”的定義可知，

h(x)+ 4-x2

2

=3x+b，
即h（x）=6x+2b-

4-x2

，
若h（x）＞g（x）恒成立，
則等價(jià)為6x+2b-

4-x2

＞

4-x2

，
即3x+b＞

4-x2

恒成立，
設(shè)y₁=3x+b，y₂=

4-x2

，
作出兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象如圖，
當(dāng)直線和上半圓相切時(shí)，圓心到直線的距離d=

|b|

1+32

=

|b|

10

=2，
即|b|=2

10

，
∴b=2

10

或-2

10

，（舍去），
即要使h（x）＞g（x）恒成立，
則b＞2

10

，
即實(shí)數(shù)b的取值范圍是（2

10

，+∞），
故答案為：（2

10

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)稱函數(shù)的定義的理解，以及不等式恒成立的證明，利用直線和圓的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．