Question

【題目】如圖幾何體是圓錐的一部分，它是Rt△ABC（及其內部）以一條直角邊AB所在直線為旋轉軸旋轉150°得到的，AB＝BC＝2，P是弧上一點，且EB⊥AP.

（1）求∠CBP的大小；

（2）若Q為AE的中點，D為弧的中點，求二面角Q﹣BD﹣P的余弦值；

（3）直線AC上是否存在一點M，使得B、D、M、Q四點共面？若存在，請說明點M的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）60°（2）（3）存在；直線AC與平面BQD相交，交點為所求點M

【解析】

（1）根據線面垂直推出線線垂直，結合已知角度的大小，即可求得；

（2）根據二面角的定義，作出二面角的補角，求得該補角后，再求出原二面角大小即可.

（3）假設與平面平行，推證矛盾，再說明點所在位置即為直線與平面的交點即可.

（1）∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，

又EB⊥AP，AB∩AP＝A，

∴BE⊥平面ABP，則EB⊥BP，

又∠EBC＝150°

∴∠CBP＝60°；

（2）過Q作QF⊥BE，垂直為F，則QF⊥平面BEC，

過F作FG⊥BD，垂直為G，連接QG，如下圖所示：

則∠QGF為二面角Q﹣BD﹣E的平面角，

∵D為弧EP的中點，∴∠FBG＝45°，

∵Q是AE的中點，∴QF，

因為QF⊥BE，，故可得//，

則點也是的中點，故BF，

因為QF⊥BE，，故可得//，

則點也是的中點，故BF，

在中，.

因為//，平面，故可得平面，

又平面，故可得

則在中，

則在Rt△QGF中，可得cos∠QGF，

因為二面角Q﹣BD﹣P的平面角與二面角Q﹣BD﹣E的平面角互補，

∴二面角Q﹣BD﹣P的余弦值為；

（3）直線AC上存在一點M，使得B、D、M、Q四點共面.

事實上，若直線AC與平面BQD相交，則交點為所求點M.

下面說明直線AC與平面BQD相交：

若AC∥平面BQD，

連接EC，交平面BQD于H，

連接QH，則QH∥AC.

∵Q為AE的中點，則H為EC中點，

由∠EBD＝45°，∠CBD＝105°，

可知H不是EC中點，矛盾.

∴直線AC與平面BQD相交，交點為所求點M.

即直線AC上存在一點M，使得B、D、M、Q四點共面，

該點為直線AC與平面BQD的交點.