Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2a_n-1，等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₄=7．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)C_n=

1

bnbn+1

，數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證Tn＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a₁=1，

an

an-1

=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；設(shè){b_n}的公差為d，由b₁=a₁=1，b4 =1+3d=7，解得d=2，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n=2n-1，得cn=

1

bnbn+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由此利用裂項(xiàng)求和法能證明Tn＜

1

2

．

解答： （1）解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-1，
解得a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1
=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴

an

an-1

=2，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴an=2n-1，
設(shè){b_n}的公差為d，
b₁=a₁=1，b4 =1+3d=7，解得d=2，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）證明：∵b_n=2n-1，
∴cn=

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴Tn=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）．
∴Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．