Question

在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：y²=2px（p＞0），在此拋物線上一點M（2，m）到焦點的距離是3．
（1）求此拋物線的方程；
（2）拋物線C的準線與x軸交于M點，過M點斜率為k的直線l與拋物線C交于A、B兩點．是否存在這樣的k，使得拋物線C上總存在點Q（x₀，y₀）滿足QA⊥QB，若存在，求k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出2+

p

2

=3，由此能求出拋物線的方程．
（2）設Q（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由

y2=4x y=k(x+1)

，得ky²-4y+4k=0，從而得到

4

y0+y1

•

4

y0+y2

=-1，由此能求出k的取值范圍．

解答： （本題滿分14分）
解：（1）∵拋物線C：y²=2px（p＞0），
在此拋物線上一點M（2，m）到焦點的距離是3．
∴拋物線準線方程是x=-

p

2

，…（1分）
2+

p

2

=3，解得p=2…（3分）
∴拋物線的方程是y²=4x．…（4分）
（2）設Q（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y2=4x y=k(x+1)

，得ky²-4y+4k=0，…（6分）
由

k≠0 16-16k2＞0

，得-1＜k＜1且k≠0…（8分）
y1+y2=

4

k

，y₁y₂=4…（9分）
kQA=

y0-y1

x0-x1

=

y0-y1

y02 4 - y12 4

=

4

y0+y1

，
同理kQB=

4

y0+y2

，
由QA⊥QB，得

4

y0+y1

•

4

y0+y2

=-1，
即：y02+y0(y1+y2)+y1y2=-16，…（11分）
∴y02+

4

k

y0+20=0，…（12分）
△=(

4

k

)2-80≥0，得-

5

5

≤k≤

5

5

且k≠0，
由-1＜k＜1且k≠0，得k的取值范圍為[-

5

5

，0)∪(0，

5

5

]．…（14分）

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查斜率的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意拋物線的簡單性質(zhì)的合理運用．