Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為1，過點M（3，0）的直線與橢圓C相交于兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P為橢圓上一點，且滿足

OA

+

OB

=t

OP

（O為坐標原點），當|AB|=

3

時，求實數(shù)t的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用離心率求得a和c關系，進而利用橢圓方程中a，b和c的關系求得a和b的關系，最后利用過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長求得b，則a可求，橢圓的方程可求．
（2）設出A、B、P的坐標和AB的直線方程，與橢圓的方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0求得k的范圍，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用

OA

+

OB

=t

OP

求得k和t的關系，把點P坐標代入橢圓的方程，利用|AB|=

3

求得k的值，進而利用k和t的關系求得t的值．

解答： 解：（1）由已知e=

c

a

=

3

2

，所以

c2

a2

=

3

4

，
所以a²=4b²，c²=3b²
所以

x2

4b2

+

y2

b2

=1，
又由過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為

2b2

a

=1，
所以b=1，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
設AB：y=k（x-3）與橢圓聯(lián)立得

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

整理得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0
其中△=24²k⁴-16（9k²-1）（1+4k²）＞0得k2＜

1

5

，
x1+x2=

24k2

1+4k2

，x1•x2=

36k2-4

1+4k2

由|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

得

1+k2 16(1-5k2)

1+4k2

=

3

即128k⁴+88k²-13=0，
所以k2=

1

8

或k2=-

13

16

（舍）
又因為

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)=t(x，y)，
所以x=

1

t

(x1+x2)=

24k2

t(1+4k2)

，
y=

1

t

(y1+y2)=

1

t

[k(x1+x2)-6k]=

-6k

t(1+4k2)

，
由點P在橢圓上得

(24k2)2

t2(1+4k2)2

+

144k2

t2(1+4k2)2

=4，
即36k²=t²（1+4k²），
即t2=

36k2

1+4k2

=9-

9

1+4k2

=3，
所以t=±

3

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了橢圓的簡單幾何性質，主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的過程一般是把直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立，利用韋達定理和判別式來作為解題的關鍵．