Question

給出下列命題：
①已知命題p：?x∈R，tanx=2，命題q：?x∈R，x²-x+1≥0，則命題p∧q為真；
②函數(shù)f（x）=2^x+2x-3在定義域內(nèi)有且只有一個零點；
③數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2068，且a_n+1+a_n+n²=0（n∈N^*），則a₁₁=2013；
④設(shè)0＜x＜1，則

a2

x

+

b2

1-x

的最小值為（a+b）²．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：可先判斷兩個命題的真假再由且命題的判斷方法判斷①正誤．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點存在性定理，可得②的正誤；利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，求出a₁₁，即可判斷③的正誤；利用基本不等式判斷④的正誤；

解答： 解：對于①，若命題p：?x∈R，使得tanx=2；P是真命題，
命題q：對任意x∈R，x²-x+1≥0，
∵△=-3＜0，q是真命題，對兩個命題進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)兩個命題都是真命題，
則命題“p∧q”為真命題，∴①正確．
對于②，f（x）=2^x+2x-3在R上是增函數(shù)，而且f（0）=-2＜0，f（1）=1＞0
所以函數(shù)f（x）=2^x+2x-3在定義域內(nèi)有且只有一個零點，故②是真命題；
對于③，數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2068，且a_n+1+a_n+n²=0（n∈N^*），
∴a₂+a₁+1²=0，a₃+a₂+2²=0，a₄+a₃+3²=0，a₅+a₄+4²=0，…，a₁₁+a₁₀+10²=0，
則-a₂-a₁-1²=0，a₃+a₂+2²=0，-a₄-a₃-3²=0，a₅+a₄+4²=0，…，a₁₁+a₁₀+10²=0，
相加可得a₁₁-a₁+10²-9²+8²-7²+6²-5²+4²-3²+2²-1²=0，
解得a₁₁=2013，∴③正確．
對于④∵0＜x＜1，
∴0＜1-x＜1，
則

a2

x

+

b2

1-x

=（

a2

x

+

b2

1-x

）[x+（1-x）]
=[a²+b²+

a2(1-x)

x

+

xb2

1-x

]≥a²+b²+2

a2(1-x) x • xb2 1-x

=（a+b）²，
當(dāng)且僅當(dāng)

a2(1-x)

x

=

xb2

1-x

即x=

a

a+b

時取等號，
∴④正確．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查復(fù)合命題的真假以及四種命題，正確求解本題的關(guān)鍵是對命題涉及到的相關(guān)知識有著比較熟練的掌握，這樣才能準(zhǔn)確快速的做出判斷．