Question

（2013•薊縣一模）已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=

n+1

2

an+1(n∈N*)
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）求數(shù)列{n²a_n}的前n項和T_n；
（3）若存在n∈N^*，使得a_n≥（n+1）λ成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=

n+1

2

an+1(n∈N*)，所以a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=

n

2

an（n≥2．所以

(n+1)an+1

nan

=3（n≥2）．由此能夠求出a_n．
（2）由（1）可知當n≥2n²a_n=2n•3^n-2．當n≥2時，T_n=1+4•3⁰+6•3¹+…+2n•3^n-2，由錯位相減法得到Tn=

1

2

+(n-

1

2

)•3n-1（n≥2），又因為T₁=a₁=1也滿足上式，所以T_n=

1

2

=(n-

1

2

)3n-1(n∈N*)．
（3）a_n≥（n+1）λ等價于λ≤

an

n+1

，當n≥2時，

an

n+1

=

2•3n-2

n(n+1)

，設(shè)f（n）=

n(n+1)

2•3n-2

(n≥2，n∈N*)，則f（n+1）-f（n）=

n(n+1)(1-n)

2•3n-1

＜0，由此能求出實數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：（1）因為a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=

n+1

2

an+1(n∈N*)
所以a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=

n

2

an（n≥2）------------（1分）
兩式相減得na_n=

n+1

2

an+1-

n

2

an
所以

(n+1)an+1

nan

=3（n≥2）------------（2分）
因此數(shù)列{na_n}從第二項起，是以2為首項，以3為公比的等比數(shù)列
所以na_n=2•3^n-2（n≥2）----（3分）
故a_n=

1，n=1 2 n •3n-2，n≥2

------------（4分）
（2）由（1）可知當n≥2n²a_n=2n•3^n-2
當n≥2時，T_n=1+4•3⁰+6•3¹+…+2n•3^n-2，------------（5分）
∴3T_n=3+4•3¹+…+2（n-1）•3^n-2+2n•3^n-1，------------（6分）
兩式相減得Tn=

1

2

+(n-

1

2

)•3n-1（n≥2）------------（7分）
又∵T₁=a₁=1也滿足上式，------------（8分）
所以T_n=

1

2

+(n-

1

2

)3n-1(n∈N*)------------（9分）
（3）a_n≥（n+1）λ等價于λ≤

an

n+1

，------------（10分）
由（1）可知當n≥2時，

an

n+1

=

2•3n-2

n(n+1)

設(shè)f（n）=

n(n+1)

2•3n-2

(n≥2，n∈N*)，
則f（n+1）-f（n）=-

(n+1)(n-1)

3n-1

＜0，------------（12分）
∴

1

f(n+1)

≥

1

f(n)

，又

1

f(2)

=

1

3

及

a1

2

=

1

2

，------------（13分）
∴所求實數(shù)λ的取值范圍為λ≤

1

3

------------（14分）

點評：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項，結(jié)合含兩個變量的不等式的處理問題，對數(shù)學思維的要求比較高，要注意錯位相減求和法和轉(zhuǎn)化與化歸思想的合理運用，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．