Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱(chēng)為“有界泛函”．現(xiàn)在給出如下5個(gè)函數(shù)：
①f（x）=x²；   
②f(x)=

x

x2+x+1

；  
③f（x）=sinx；  
④y=xcosx；
⑤f（x）是R上的奇函數(shù)，且滿足對(duì)一切x₁，x₂∈R，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|．
其中屬于“有界泛函”的函數(shù)是

 

（填上所有正確的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專(zhuān)題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由新定義逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得．

解答： 解：選項(xiàng)①顯然不存在常數(shù)M＞0，使|x²|≤M|x|恒成立，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)②當(dāng)x≠0時(shí)，f(x)=

x

x2+x+1

=

1

x+ 1 x +1

，
∵x+

1

x

∈（-∞，-2]∪[2，+∞）
∴

1

x+ 1 x +1

∈（0，

1

3

]∪[-1，0），
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0，故f（x）∈[-1，

1

3

]，故正確；
選項(xiàng)③f（x）=sinx∈[-1，1]，顯然正確；
選項(xiàng)④y=xcosx，也存在M使得式子成立，故正確；
對(duì)于⑤，令x₁=0，則f（0）=0，
已知式化為|f（x₂）|≤|x₂|，顯然也符合定義，
故答案為：②③④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，涉及函數(shù)的值域，屬基礎(chǔ)題．