Question

8．設a≥0，若y═cos²x-asinx+b的最大值為0，最小值為-4．
（1）求a，b的值；
（2）求使y取最大值、最小值時的x的值．

Answer 1

分析 （1）用配方法整理函數(shù)解析式，根據(jù)sinx的范圍和a的范圍確定函數(shù)的最大和最小值，聯(lián)立方程可求得a和b．
（2）由函數(shù)解析式可得，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質確定y的最大和最小值以及此時x的值．

解答 解：（1）原函數(shù)變形為y=-$（sinx+\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}$+b+1，
∵-1≤sinx≤1，a≥0，
∴若0≤a≤2，當sinx=-$\frac{a}{2}$時，
y_max=1+b+$\frac{{a}^{2}}{4}$=0 ①
當sinx=1時，y_min=-$（1+\frac{a}{2}）^{2}$+1+b+$\frac{{a}^{2}}{4}$=-a+b=-4 ②
聯(lián)立①②式解得a=2，b=-2，
（2）y取得最大、小值時的x值分別為：
x=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z），x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）
若a＞2時，$\frac{a}{2}$∈（1，+∞）
∴y_max=-$（1-\frac{a}{2}）^{2}$+1+b+$\frac{{a}^{2}}{4}$=a+b=0  ③
y_min=-$（1+\frac{a}{2}）^{2}$+1+b+$\frac{{a}^{2}}{4}$=-a+b=-4④
由③④得a=2時，而$\frac{a}{2}$=1（舍去），
故只有一組解a=2，b=-2．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的性質．可與二次函數(shù)圖象相聯(lián)系，利用數(shù)形結合的思想來解決，是基礎題．