Question

【題目】已知兩個(gè)定點(diǎn)，， 動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線：.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）若是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作曲線的兩條切線QM、QN，切點(diǎn)為、，探究：直線是否過定點(diǎn)，若存在定點(diǎn)請寫出坐標(biāo)，若不存在則說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，定點(diǎn)為

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由列出方程化簡求解即可；
（2）說明都在以為直徑的圓上，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，圓的圓心為，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，可表示出圓的方程，將其與曲線聯(lián)立，推出直線的方程，然后可解得直線是過的定點(diǎn)．

（1）由題，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)?/span>，即，

整理得，

所以所求曲線的軌跡方程為．

（2）依題意，，則都在以為直徑的圓上，

是直線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，

則圓的圓心為，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，

即圓的方程為，

又因?yàn)?/span>在曲線上，

由，可得，

即直線的方程為，

由且，可得，解得，

所以直線過定點(diǎn)．