Question

已知：如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)P，且P為BC中點(diǎn)，PD⊥AC于點(diǎn)D．
（1）求證：AB=AC；
（2）求證：PD是⊙O的切線；
（3）若∠CAB=120°，BC=4，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)AP，根據(jù)圓周角定理由AB為⊙O的直徑得到∠APB=90°，則AP⊥BC，由于P為BC中點(diǎn)，則AP為BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得AB=AC；
（2）連結(jié)OP，易得OP為△ABC的中位線，則OP∥AC，由于PD⊥AC，所以O(shè)P⊥PD，根據(jù)切線的判定定理得PD是⊙O的切線；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠B=∠C，則∠B=30°，在Rt△ABP中，PB=

1

2

BC=2，根據(jù)余弦的定義可計(jì)算出AB．

解答：（1）證明：連結(jié)AP，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BC，
∵P為BC中點(diǎn)，
∴AP為BC的垂直平分線，
∴AB=AC；
（2）解：連結(jié)OP，如圖，
∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，P為BC的中點(diǎn)，
∴OP為△ABC的中位線，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切線；
（3）解：∵AB=AB，
∴∠B=∠C，
∵∠CAB=120°，
∴∠B=30°，
在Rt△ABP中，PB=

1

2

BC=

1

2

×4=2，
∴cos30°=

PB

AB

，
∴AB=

2

3 2

=

4 3

3

．
即⊙O的直徑為

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理．