【題目】如圖1,正方形ABCD的一邊AB在直尺一邊所在直線MN上,點O是對角線AC、BD的交點,過點OOEMN于點E

1)如圖1,線段ABOE之間的數(shù)量關(guān)系為   .(請直接填結(jié)論)

2)保證點A始終在直線MN上,正方形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)θ0θ90°),過點 BBFMN于點F

①如圖2,當點O、B兩點均在直線MN右側(cè)時,試猜想線段AF、BFOE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由.

②如圖3,當點O、B兩點分別在直線MN兩側(cè)時,此時①中結(jié)論是否依然成立呢?若成立,請直接寫出結(jié)論;若不成立,請寫出變化后的結(jié)論并證明.

③當正方形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖4的位置時,線段AF、BFOE之間的數(shù)量關(guān)系為   .(請直接填結(jié)論)

【答案】(1)AB=2OE;(2)①AF+BF=2OE,證明見解析;②AF﹣BF=2OE 證明見解析;③BF﹣AF=2OE,

【解析】試題分析:(1)利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出結(jié)論;

2①過點BBHOEH,可得四邊形BHEF是矩形,根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=BH,BF=HE,根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB,AOB=90°,再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=OBH,然后利用角角邊證明AOEOBH全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得OH=AE,OE=BH,再根據(jù)AF-EF=AE,整理即可得證;

②過點BBHOEOE的延長線于H,可得四邊形BHEF是矩形,根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=BH,BF=HE,根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB,AOB=90°,再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=OBH,然后利用角角邊證明AOEOBH全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得OH=AE,OE=BH,再根據(jù)AF-EF=AE,整理即可得證;

③同②的方法可證.

試題解析:(1AC,BD是正方形的對角線,

OA=OC=OB,BAD=ABC=90°,

OEAB,

OE=AB,

AB=2OE,

2AF+BF=2OE

證明:如圖2,過點BBHOE于點H

∴∠BHE=BHO=90°

OEMN,BFMN

∴∠BFE=OEF=90°

∴四邊形EFBH為矩形

BF=EH,EF=BH

∵四邊形ABCD為正方形

OA=OB,AOB=90°

∴∠AOE+HOB=OBH+HOB=90°

∴∠AOE=OBH

∴△AEO≌△OHBAAS

AE=OH,OE=BH

AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE

AF﹣BF=2OE

證明:如圖3,延長OE,過點BBHOE于點H

∴∠EHB=90°

OEMN,BFMN

∴∠AEO=HEF=BFE=90°

∴四邊形HBFE為矩形

BF=HEEF=BH

∵四邊形ABCD是正方形

OA=OB,AOB=90°

∴∠AOE+BOH=OBH+BOH

∴∠AOE=OBH

∴△AOE≌△OBHAAS

AE=OHOE=BH,

AF﹣BF

=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE

BF﹣AF=2OE

如圖4,作OGBFG,則四邊形EFGO是矩形,

EF=GOGF=EO,GOE=90°,

∴∠AOE+AOG=90°

在正方形ABCD中,OA=OB,AOB=90°,

∴∠AOG+BOG=90°

∴∠AOE=BOG

OGBF,OEAE,

∴∠AEO=BGO=90°

∴△AOE≌△BOGAAS),

OE=OGAE=BG,

AE﹣EF=AF,EF=OG=OE,AE=BG=AF+EF=OE+AF

BF﹣AF=BG+GF﹣AE﹣EF=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE,

BF﹣AF=2OE

練習冊系列答案
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A型客車

B型客車

載客量(人/輛)

40

25

日租金(元/輛)

320

200

車輛數(shù)(輛)

a

b

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