Question

20．如圖，?ABCD中，AB=2，BC=4，∠B=60°，點(diǎn)P是四邊形上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)△PBC為直角三角形時(shí)，BP的長為2或2$\sqrt{3}$或$\sqrt{19}$．

Answer 1

分析 分兩種情況：（1）①當(dāng)∠BPC=90°時(shí)，作AM⊥BC于M，求出BM=$\frac{1}{2}$AB=1，AM=$\sqrt{3}$BM=$\sqrt{3}$，由勾股定理求出AC，由勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，得出點(diǎn)P與A重合即可；
②當(dāng)∠BPC=90°，點(diǎn)P在邊AD上，CP=CD=AB=2時(shí)，由勾股定理求出BP即可；
（2）當(dāng)∠BCP=90°時(shí)，CP=AM=$\sqrt{3}$，由勾股定理求出BP即可．

解答 解：分兩種情況：
（1）①當(dāng)∠BPC=90°時(shí)，
作AM⊥BC于M，如圖1所示，
∵∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴AM=$\sqrt{3}$BM=$\sqrt{3}$，CM=BC-BM=4-1=3，
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，∠BPC=∠BAC=90°，
∴BP=BA=2；
②當(dāng)∠BPC=90°，
點(diǎn)P在邊AD上，CP=CD=AB=2時(shí)，
BP=$\sqrt{B{C}^{2}-C{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；
（2）當(dāng)∠BCP=90°時(shí)，如圖3所示：
則CP=AM=$\sqrt{3}$，
∴BP=$\sqrt{B{C}^{2}+C{P}^{2}}$=$\sqrt{19}$；
綜上所述：當(dāng)△PBC為直角三角形時(shí)，BP的長為 2或2$\sqrt{3}$或$\sqrt{19}$．
．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，在解答此題時(shí)要注意分類討論，不要漏解．