Question

5．如圖所示，已知等腰△ABC的底邊BC與軸重合，BC=4，點B（3，0），AC交軸于點D（0，3）．
（1）求直線AC的解析式；
（2）若點M為等腰△ABC的對稱軸上一點，是否存在這樣的M，使得線段DM+CM的值最��？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）連接BD，在直線AC上是否存在一點P，使S_△PBD=$\frac{1}{2}$S_△PBC？若存在，試求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式；
（2）作出等腰三角形的對稱軸AF，因為C和B是對稱點，所以BD與AF的交點就是所求的點M，利用線段垂直平分線的性質(zhì)可知：直線AF：x=1，點M就是AF與BD的交點，利用方程組求解；
（3）存在，分兩種情況：①點P在CD的延長線上時，點P與點A重合，則這時P（1，6）；②點P在線段CD上時，利用平行線分線段成比例定理列比例式求出點P的坐標．

解答 解：（1）由題意得：C（-1，0），
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
把C（-1，0）、D（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為：y=3x+3；
（2）存在，如圖1，作對稱軸交BD于M，交x軸于F，連接CM，
點C與點B關(guān)于直線AF對稱，
這時CM+DM的值最小，
∵AF是BC的垂直平分線，
∴直線AF的解析式為：x=1，
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，
把B（3，0），D（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
則直線BD的解析式為：y=-x+3，
當x=1時，y=2，
∴M（1，2）；
（3）①點P在CD的延長線上時，如圖2，當PD=CD時，S_△PBD=$\frac{1}{2}$S_△PBC，
∵C（-1，0），D（0，3）
∴P（1，6）
這時點P與點A重合；
②點P在線段CD上時，如圖3，當PD=$\frac{1}{2}$PC時，S_△PBD=$\frac{1}{2}$S_△PBC，
過P作PE⊥BC于E，則PE∥OD，
∴$\frac{PE}{OD}=\frac{CP}{CD}=\frac{CE}{CO}$，
∴$\frac{PE}{3}=\frac{2}{3}=\frac{CE}{1}$，
∴PE=2，CE=$\frac{2}{3}$，
∴P（-$\frac{1}{3}$，2），
綜上所述，存在這樣的P點，坐標為（1，6）或（（-$\frac{1}{3}$，2）．

點評 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，并利用方程組的解求兩直線的交點坐標；本題還利用對稱性求線段和的最小值，這里綜合考查了三角形的三邊關(guān)系及線段垂直平分線的性質(zhì)；另外，本題還運用了分類討論的思想，將三角形的面積與平行線分線段成比例定理及坐標相結(jié)合，綜合性較強．