【題目】如圖,拋物線y=﹣(x+1)(x﹣m)交x軸于A,B兩點(A在B的左側(cè),m>0),交y軸正半軸于點C,過點C作x軸的平行線交拋物線于另一點E,拋物線的對稱軸交CE于點F,以C為圓心畫圓,使⊙C經(jīng)過點(0,2).
(1)直接寫出OB,OC的長.(均用含m的代數(shù)式表示)
(2)當m>2時,判斷點E與⊙C的位置關系,并說明理由.
(3)當拋物線的對稱軸與⊙C相交時,其中下方的交點為D.連結(jié)CD,BD,BC.
①當m>3,且C,D,B三點在同一直線上時,求m的值.
②當△BCD是以CD為腰的等腰三角形時,求m的值.(直接寫出答案即可)
【答案】
(1)
解:由拋物線y=﹣(x+1)(x﹣m)可知A(﹣1,0),B(m,0),
∴OB=m,
令x=0,求得y=m,
∴C(0,m),
∴OC=m
(2)
解:∵OA=1,OB=m,
∴CE=m﹣1,
∵⊙C經(jīng)過點(0,2),
∴⊙C的半徑為m﹣2,
∵m﹣2<m﹣1,
∴點E在⊙C外
(3)
解:①∵OB=OC=m,
∴△BOC是等腰直角三角形,
∴∠OCB=45°,
∴∠BCE=45°,
∵C,D,B三點在同一直線上,
∴△CDF是等腰直角三角形,
∴CD= CF,即m﹣2= ,
解得m=3+ ;
②∵CD=m﹣2,CF= ,
∴FD= = ,
∴D( ,m﹣ ),
∵△BCD是以CD為腰的等腰三角形,
∴D在直線BC的垂直平分線上,
∵OB=OC=m,
∴直線BC的垂直平分線為y=x,
把D( ,m﹣ )代入得, =m﹣ ,
整理得m2﹣8m+7=0,解得m1=1,m2=7,
∴當△BCD是以CD為腰的等腰三角形時,m的值為1或7
【解析】(1)由拋物線y=﹣(x+1)(x﹣m)可知A(﹣1,0),B(m,0),得出OB=m,令x=0,求得y=m,得出OC=m;(2)根據(jù)拋物線的對稱性求得CE=m﹣1,因為⊙C經(jīng)過點(0,2),所以⊙C的半徑為m﹣2,根據(jù)m﹣2<m﹣1,即可判定點E在⊙C外;(3)①先證得△BOC是等腰直角三角形,進而證得△CDF是等腰直角三角形,得出CD= CF,即m﹣2= ,解得m=3+ ;②由CD=m﹣2,CF= ,根據(jù)勾股定理FD= = ,得出DG=m﹣ ,根據(jù)CD=DB,得出D在直線BC的垂直平分線上,根據(jù)OB=OC=m,得出直線BC的垂直平分線為y=x,代入D( ,m﹣ ),整理得出m2﹣8m+7=0,解得m1=1,m2=7.
【考點精析】關于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì)和點和圓的三種位置關系,需要了解增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減;圓和點的位置關系:以點P與圓O的為例(設P是一點,則PO是點到圓心的距離),P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O內(nèi),PO<r才能得出正確答案.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點A是雙曲線y= 在第一象限的分支上的一個動點,連結(jié)AO并延長交另一分支于點B,以AB為斜邊做等腰直角△ABC,點C在第四象限.隨著點A的運動,點C的位置也不斷變化,但點C始終在雙曲線y= (k<0)上運動,則k的值是
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,若動點P從點C開始,按C→A→B→C的路徑運動,且速度為每秒2cm,設運動的時間為t秒.
(1)當t為何值時,CP把△ABC的周長分成相等的兩部分.
(2)當t為何值時,CP把△ABC的面積分成相等的兩部分,并求出此時CP的長;(說明:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)
(3)當t為何值時,△BCP為等腰三角形?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,D為⊙O上一點,點C在直徑BA的延長線上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求證:CD是⊙O的切線.
(2)過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E,若OB=5,BC=18,求BE的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線交AC于D,△ABC和△DBC的周長分別是70cm和48cm,則△ABC的腰和底邊長分別為( )
A.24cm和22cm B.26cm和18cm
C.22cm和26cm D.23cm和24cm
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】用紙在某謄印社復印文件,復印頁數(shù)不超過時每頁收費元;復印頁數(shù)超過時,超過部分每頁收費元.在某圖書館復印同樣的文件,不論復印多少頁,每頁收費元,如何根據(jù)復印的頁數(shù)選擇復印的地點使總價格比較便宜?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知函數(shù)(x>0)的圖象經(jīng)過點A,B,點A的坐標為(1,2).過點A作AC∥y軸,AC=1(點C位于點A的下方),過點C作CD∥x軸,與函數(shù)的圖象交于點D,過點B作BE⊥CD,垂足E在線段CD上,連接OC,OD.
(1)求△OCD的面積;
(2)當BE=AC時,求CE的長.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)函數(shù)(x>0)的圖象經(jīng)過點A(1,2),求函數(shù)解析式,再有AC∥y軸,AC=1求出C點坐標,然后根據(jù)CD∥x軸,求D點坐標,從而可求CD長,最后利用三角形面積公式求出△OCD的面積.
(2)通過BE=AC,求得B點坐標,進而求得CE長.
試題解析:解:(1)∵函數(shù)(x>0)的圖象經(jīng)過點A(1,2),
∴,即k=2.
∵AC∥y軸,AC=1,∴點C的坐標為(1,1).
∵ CD∥x軸,點D在函數(shù)圖像上,∴點D的坐標為(2,1).
∴.
(2)∵BE=AC,∴BE=.
∵BE⊥CD,∴點B的縱坐標是.∴點B的橫坐標是.
∴CE=.
考點:1.反比例函數(shù)綜合題;3.曲線上點的坐標與方程的關系;3.三角形的面積.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】閱讀材料: 小明在學習二次根式后,發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方,如:,善于思考的小明進行了以下探索:
設(其中均為整數(shù)),則有 .
∴.這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法.
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題:
(1)當均為正整數(shù)時,若,用含m、n的式子分別表示,得 = ,= ;
(2)利用所探索的結(jié)論,找一組正整數(shù),填空: + =( + )2;
(3)若,且均為正整數(shù),求的值.
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