【題目】如圖,邊長為4的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,E是弧AB上的一動點(不與A,B重合),F(xiàn)是弧BC上的一點,連接OE,OF,分別與AB,BC交于點G,H,且∠EOF=90°,有以下結(jié)論:①=;②△OGH是等腰直角三角形;③四邊形OGBH的面積隨著點E位置的變化而變化;④△OGH周長的最小值為4+.其中正確的是( )
A. ①③④ B. ①②③ C. ①② D. ③④
【答案】C
【解析】①連接OA,OB,根據(jù)正方形的性質(zhì),知∠AOB=90°=∠EOF,又∠BOE共用,故可得∠AOE=∠BOF,再根據(jù)圓心角定理可得①=;故①正確;
②連接OB,OC,證明△OGB≌△OHC,可得OG=OH,即可得出△OGH是等腰直角三角形;故②正確;
③過點O作OM⊥BC,ON⊥AB,易證得△OGN≌△OHM,因此可得出S△OGN=S△OHM,故不管點E的位置如何變化,四邊形OGBH的面積不變;故③錯誤;
④過點B作B關(guān)于OF的對稱點P(易知點P在⊙O上),連接PH,則PH=BH;過點B作B關(guān)于OE的對稱點Q(易知點Q在⊙O上),連接QG,則QG=BG;連接PQ,易證明PQ過圓心O,則PQ==4≠4+,故④錯誤.
①如圖所示,
∵∠BOE+∠BOF=90°,∠COF+∠BOF=90°,
∴∠BOE=∠COF,
在△BOE與△COF中,
∴△BOE≌△COF,
∴BE=CF,
∴ ,①正確;
②∵BE=CF,
∴△BOG≌△COH;
∵∠BOG=∠COH,∠COH+∠OBF=90°,
∴∠GOH=90°,OG=OH,
∴△OGH是等腰直角三角形,②正確.
③如圖所示,
∵△HOM≌△GON,
∴四邊形OGBH的面積始終等于正方形ONBM的面積,③錯誤;
④過點B作B關(guān)于OF的對稱點P(易知點P在⊙O上),連接PH,則PH=BH;過點B作B關(guān)于OE的對稱點Q(易知點Q在⊙O上),連接QG,則QG=BG;
連接PQ,易證明PQ過圓心O,
∴PQ==4≠4+,
故④錯誤.
綜上,①②正確,③④錯誤.
故選:C
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【題目】如圖,點A、B在⊙O上,直線AC是⊙O的切線,OC⊥OB,連接AB交OC于點D.
(1)AC與CD相等嗎?為什么?
(2)若AC=2,AO=,求OD的長度.
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【題目】為了加強校園周邊治安綜合治理,警察巡邏車在學(xué)校旁邊的一條東西方向的公路上執(zhí)行治安巡邏,如果規(guī)定向東為正,向西為負(fù),從出發(fā)點開始所走的路程(單位:千米)為:
(1)此時,這輛巡邏車司機(jī)如何向警務(wù)處描述他現(xiàn)在的位置?
(2)已知每千米耗油升,如果警務(wù)處命令其巡邏車馬上返回出發(fā)點,這次巡邏共耗油多少升?
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6cm,點P從點A出發(fā),沿AB方向以每秒cm的速度向終點B運動;同時,動點Q從點B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點C運動,將△PQC沿BC翻折,點P的對應(yīng)點為點P′.設(shè)點Q運動的時間為t秒,若四邊形QPCP′為菱形,則t的值為( )
A. B. 2 C. 2 D. 3
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【題目】如圖,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的頂點在相互平行的三條直線l1,l2,l3上,且l1、l2之間的距離為2,l2、l3之間的距離為3,則AC的長是_________;
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【題目】已知⊙O的弦CD與直徑AB垂直于F,點E在CD上,且AE=CE.
(1)求證:CA2=CE CD;
(2)已知CA=5,EC=3,求sin∠EAF.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,E為BC上一點,以CE為直徑作⊙O,AB與⊙O相切于點D,連接CD,若BE=OE=2.
(1)求證:∠A=2∠DCB;
(2)求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π和根號).
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【題目】某商場購進(jìn)西裝30件,襯衫45件,共用了39000元,其中西裝的單價是襯衫的5倍。
(1)求西裝和襯衫的單價各為多少元?
(2)商場仍需要購買上面的兩種產(chǎn)品55件(每種產(chǎn)品的單價不變),采購部預(yù)算共支出32000元,財會算了一下,說:“如果你用這些錢共買這兩種產(chǎn)品,那么賬肯定算錯了”請你用學(xué)過的方程知識解釋財會為什么會這樣說?
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分別找一點M、N,使△AMN周長最小時,則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為( )
A. 130°B. 120°C. 110°D. 100°
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