【題目】如圖,一次函數(shù)y=﹣x+b與反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象相交于A(﹣1,4)、B(4,﹣1)兩點,直線l⊥x軸于點E(﹣4,0),與反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象分別相交于點C、D,連接AC、BC
(1)求出b和k;
(2)求證:△ACD是等腰直角三角形;
(3)在y軸上是否存在點P,使S△PBC=S△ABC?若存在,請求出P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:∵一次函數(shù)y=﹣x+b的圖象經(jīng)過點A(﹣1,4)
∴﹣(﹣1)+b=4,
即b=3,
又∵反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象經(jīng)過點A(﹣1,4)
∴k=xy=(﹣1)×4=﹣4;
(2)證明:∵直線l⊥x軸于點E(﹣4,0)則直線l解析式為x=﹣4,
∴直線x=﹣4與一次函數(shù)y=﹣x+3交于點D,則D(﹣4,7)
直線x=﹣4與反比例函數(shù)y=﹣ 交于點C,
則C(﹣4,1)
過點A作AF⊥直線l于點F,
∵A(﹣1,4),C(﹣4,1),D(﹣4,7)
∴CD=6,AF=3,DF=3,F(xiàn)C=3
又∵∠AFD=∠AFC=90°,
由勾股定理得:AC=AD=3
又∵AD2+AC2= =36
CD2=62=36
∴AD2+AC2=CD2
∴由勾股定理逆定理得:△ACD是直角三角形,
又∵AD=AC
∴△ACD是等腰直角三角形;
(3)解:過點A作AP1∥BC,交y軸于P1,
則S△PBC=S△ABC
∵B(4,﹣1),C(﹣4,1)
∴直線BC的解析式為y=﹣ x
∵設(shè)直線AP1的解析式為y=﹣ x+b1,把A(﹣1,4)代入可求b1= ,
∴P1(0, ),
∴作P1關(guān)于x軸的對稱點P2,則 =S△ABC,
故P2(0,﹣ );
即存在P1(0, ),P2(0,﹣ );
【解析】(1)利用待定系數(shù)法即可求解。
(2)根據(jù)已知及點E的坐標易求出點C、D的坐標,因此可求出DC的長,過點A作AF⊥直線l于點F,即可求出AF,DF,F(xiàn)C的長,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AC=AD,然后再證明△ACD是直角三角形,即可得出結(jié)論。
(3)先求出直線BC的函數(shù)解析式,再求出直線AP1的解析式,就可求出點P1的坐標。作P1關(guān)于x軸的對稱點P2,則S △ P 1 B C = S △ P 2 B C=S△ABC,,就可求出點P2的坐標。
【考點精析】認真審題,首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°),還要掌握確定一次函數(shù)的表達式(確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以直角三角形AOC的直角頂點O為原點,以OC、OA所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系,點A(0,a),C(b,0)滿足.D為線段AC的中點.在平面直角坐標系中,以任意兩點P(x1,y1)、Q(x2,y2)為端點的線段中點坐標為,.
(1)則A點的坐標為 ;點C的坐標為 .D點的坐標為 .
(2)已知坐標軸上有兩動點P、Q同時出發(fā),P點從C點出發(fā)沿x軸負方向以1個單位長度每秒的速度勻速移動,Q點從O點出發(fā)以2個單位長度每秒的速度沿y軸正方向移動,點Q到達A點整個運動隨之結(jié)束.設(shè)運動時間為t(t>0)秒.問:是否存在這樣的t,使S△ODP=S△ODQ,若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.
(3)點F是線段AC上一點,滿足∠FOC=∠FCO,點G是第二象限中一點,連OG,使得∠AOG=∠AOF.點E是線段OA上一動點,連CE交OF于點H,當點E在線段OA上運動的過程中,的值是否會發(fā)生變化?若不變,請求出它的值;若變化,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探究:
(1)如圖①,在中,點、、分別在邊、、上,且,若,求的度數(shù).請將下面的解答過程補充完整,并填空.
(1)解:
,
(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).
,
(___________________________________).
(__________________).
.
應(yīng)用:
(2)如圖②,在中,點、、分別在邊、、的延長線上,且,,若,求的大。ㄓ煤的代數(shù)式表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=CD,對角線AC,BD相交于點O,AE⊥BD于點E,CF⊥BD于點F,連接AF,CE,若DE=BF,則下列結(jié)論:①CF=AE;②OE=OF;③四邊形ABCD是平行四邊形;④圖中共有四對全等三角形.其中正確結(jié)論的個數(shù)是
A.4 B.3 C.2 D.1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,動點P在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動,第1次從原點運動到點(1,1),第2次接著運動到點(2,0),第3次接著運動到點(3,2),…,按這樣的運動規(guī)律,經(jīng)過第2017次運動后,動點P的坐標是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小穎和小紅兩位同學(xué)在學(xué)習(xí)“概率”時,做投擲骰子(質(zhì)地均勻的正方體)試驗,她們共做了60次試驗,試驗的結(jié)果如下:
朝上的點數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
出現(xiàn)的次數(shù) | 7 | 9 | 6 | 8 | 20 | 10 |
(1)計算“3點朝上”的頻率和“5點朝上”的頻率.
(2)小穎說:“根據(jù)上述試驗,一次試驗中出現(xiàn)5點朝上的概率最大”;小紅說:“如果投擲600次,那么出現(xiàn)6點朝上的次數(shù)正好是100次”.小穎和小紅的說法正確嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的有( )
①絕對值等于本身的數(shù)是正數(shù);②將數(shù)60340精確到千位是③連接兩點的線段的長度就是兩點間的距離;④若AC=BC,則點C就是線段AB的中點.
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,AC∥DF,直線AF分別直線BD、CE 相交于點G、H,∠1=∠2,
求證:∠C=∠D.
證明: ∵∠1=∠2(已知)
∠1=∠DGH( ),
∴∠2=__________( 等量代換 )
∴__________∥__________( 同位角相等,兩直線平行 )
∴∠C=___________( 兩直線平行,同位角相等 )
又∵AC∥DF__________
∴∠D=∠ABG_________
∴∠C=∠D__________
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