【題目】如圖1所示,在ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,AC⊥AB,△ACD沿射線AC的方向勻速平移得到△PNM,速度為1cm/s,同時,點Q從點C出發(fā),沿射線CB方向勻速運動,速度為1cm/s,當△PNM停止平移時,點Q也停止運動,如圖2所示,設(shè)運動時間為t(s)(0<t<4).

(1)當t為何值時,PQ∥MN?
(2)設(shè)△QMC的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某一時刻t,使得PQ=QM,若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:如圖1,由題意得:CQ=AP=t,

在Rt△ABC中,由勾股定理得AC= = =4,

∴CP=4﹣t,

由平移的性質(zhì)可得MN∥AB,

∵PQ∥MN,

∴PQ∥AB,

,即

解得t= ,

則當t為何值時,PQ∥MN


(2)

解:如圖2,過點P作PF⊥BC于點F,過點A作AE⊥BC于點E,

由SABC= AB×AC= AE×BC,

×3×4= ×5AE,

可得:AE= ,

則由勾股定理易得:CE= = =

∵PD⊥BC,AE⊥BC,

∴AE∥PD,

∴△CPD∽△CAE,

,即

∴PD= ,CD= ,

∵PM∥BC,

∴點M到BC的距離h=PD= ,

∴△QCM的面積y= CQ×h= × =﹣ + (0<t<4)


(3)

解:如圖3,過點Q作QD⊥PM于點D,QD交AC于點H.

∵PQ=MQ,

∴PD=DM= ,且DQ⊥BC.

在Rt△ABC中,AC=4,AP=t,QC=t.

∵∠A=∠HQC,∠ACB=∠QCH,

∴△CQH∽△CAB,

,即

∴CH= t,

∴PH=AC﹣AP﹣CH=4﹣t﹣ t=4﹣ t,

易證△PHD∽△CBA,

,

,

解得t=

∴當t= 時,PQ=QM.


【解析】(1)如圖1,先根據(jù)題意得:CQ=AP=t,利用勾股定理求AC的長,根據(jù)PQ∥AB,列比例式可求得t的值;(2)如圖2,作輔助線,構(gòu)建相似三角形,利用面積法得:SABC= AB×AC= AE×BC,可得:AE= ,由勾股定理易得:CE= .證明△CPD∽△CAE,列比例式 ,求PD和CD的長,根據(jù)面積公式求△QCM的面積y;(3)如圖3,作輔助線,構(gòu)建相似三角形,證明△CQH∽△CAB,列比例式得: ,表示CH= t,則PH=AC﹣AP﹣CH=4﹣ t,易證△PHD∽△CBA,列式可求得t的值.
【考點精析】利用勾股定理的概念和平行四邊形的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分.

練習冊系列答案
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實施西部大開發(fā)戰(zhàn)略是黨中央的重大決策,我國國土面積約為960 萬平方千米而我國西部地區(qū)的面積占我國國土面積的 ,用科學(xué)記數(shù)法表示我國西部地區(qū)的面積約為_____平方千米.

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1)問題解決:受到(1)的啟發(fā),請你證明下面命題:如圖2,在ABC中,DBC邊上的中點,DEDFDEAB于點E,DFAC于點F,連接EF

①求證:BE+CFEF;②若∠A=90°,探索線段BECF、EF之間的等量關(guān)系,并加以證明;

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圖1 圖2 圖3

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