Question

【題目】閱讀下面材料，完成(1)-(3)題．

數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題：

如圖1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，以AB為邊向AB左側(cè)作等邊△ABE，直線CE與直線AD交于點(diǎn)F．請(qǐng)?zhí)骄烤�段EF、AF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后，交流了自已的想法：

小明：“通過(guò)觀察和度量，發(fā)現(xiàn)∠DFC的度數(shù)可以求出來(lái)．”

小強(qiáng)：“通過(guò)觀察和度量，發(fā)現(xiàn)線段DF和CF之間存在某種數(shù)量關(guān)系．”

小偉：“通過(guò)做輔助線構(gòu)造全等三角形，就可以將問(wèn)題解決．”

......

老師：“若以AB為邊向AB右側(cè)作等邊△ABE，其它條件均不改變，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形,探究線段EF、AF、DF三者的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．”

（1）求∠DFC的度數(shù)；

（2）在圖1中探究線段EF、AF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）在圖2中補(bǔ)全圖形，探究線段EF、AF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）EF=AF+FC，證明見(jiàn)解析；（3）AF=EF+2DF，證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）可設(shè)∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得2α＋60＋2β＝180°，從而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度數(shù)；

（2）在EC上截取EG＝CF，連接AG，證明△AEG≌△ACF，然后再證明△AFG為等邊三角形，從而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；

（3）在AF上截取AG＝EF，連接BG，BF，證明方法類似（2），先證明△ABG≌△EBF，再證明△BFG為等邊三角形，最后可得出結(jié)論．

解：（1）∵AB=AC，AD為BC邊上的中線，∴可設(shè)∠BAD＝∠CAD＝α，

又△ABE為等邊三角形，

∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可設(shè)∠AEC＝∠ACE＝β，

在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，

∴α＋β＝60°，

∴∠DFC=α＋β＝60°；

（2）EF=AF+FC，證明如下：

∵AB=AC，AD為BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，

∵∠CFD＝60°，則∠DCF=30°，

∴CF＝2DF，

在EC上截取EG＝CF，連接AG，

又AE=AC，

∴∠AEG=∠ACF，

∴△AEG≌△ACF（SAS）,

∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，

又∠CAF=∠BAD，

∴∠EAG=∠BAD，

∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，

∴△AFG為等邊三角形，

∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，

即EF=AF+FC；

（3）補(bǔ)全圖形如圖所示，

結(jié)論：AF=EF+2DF．證明如下：

同（1）可設(shè)∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，

∴∠CAE＝180°－2β，

∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，

∴∠AFC=β－α＝60°，

又△ABE為等邊三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，

∴由8字圖可得：∠BAD＝∠BEF，

在AF上截取AG＝EF，連接BG，BF，

又AB=BE，

∴△ABG≌△EBF（SAS），

∴BG＝BF，

又AF垂直平分BC，

∴BF=CF，

∴∠BFA=∠AFC=60°，

∴△BFG為等邊三角形，

∴BG=BF，又BC⊥FG，∴FG=BF=2DF，

∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF．