Question

【題目】關(guān)于x的二次函數(shù)y1＝x2+kx+k﹣1（k為常數(shù)）

（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)k，函數(shù)圖象與x軸都有交點(diǎn)

（2）若當(dāng)x≥75時(shí)，函數(shù)y的值都隨x的增大而增大，求滿足條件的最小整數(shù)k的值

（3）K取不同的值時(shí)，函數(shù)拋物線的頂點(diǎn)位置也會(huì)變化，但會(huì)在某一函數(shù)圖象上，求該函數(shù)圖象的解析式

（4）若當(dāng)自變量x滿足0≤x≤3時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為10，求此時(shí)k的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）﹣150；（3）y＝﹣x2﹣2x﹣1；（4）11．

【解析】

（1）計(jì)算△，根據(jù)△的值進(jìn)行判斷；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可判斷；

（3）得到拋物線的頂點(diǎn)，寫成方程組，消去k得y=-x2-2x-1，即可判斷；

（4）函數(shù)配方后得y=x2+kx+k-1=，根據(jù)對(duì)稱軸的位置分三種情況進(jìn)行討論可得結(jié)論.

解：（1）∵△＝k2﹣4（k﹣1）＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，

∴對(duì)任意實(shí)數(shù)k，函數(shù)圖象與x軸都有交點(diǎn)；

（2）∵a＝1＞0，拋物線的對(duì)稱軸x，

∴在對(duì)稱軸的右側(cè)函數(shù)y的值都隨x的增大而增大，

即當(dāng)x時(shí)，函數(shù)y的值都隨x的增大而增大，

∵x≥75時(shí)，函數(shù)y的值都隨x的增大而增大，

∴75，k≥﹣150，

∴k的最小整數(shù)是﹣150，

∴滿足條件的最小整數(shù)k的值是﹣150；

（3）∵y＝x2+kx+k﹣1＝（x）2k﹣1，

∴拋物線的頂點(diǎn)為（，k﹣1），

∴，

消去k得，y＝﹣x2﹣2x﹣1，

由此可見，不論k取任何實(shí)數(shù)，拋物線的頂點(diǎn)都滿足函數(shù)y＝﹣x2﹣2x﹣1，

即拋物線的頂點(diǎn)在二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x﹣1的圖象上；

（4）∵y＝x2+kx+k﹣1＝（x）2k﹣1，

∴拋物線的頂點(diǎn)為（，k﹣1），

又∵0≤x≤3時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為10，

①當(dāng)0時(shí)，即k≤0，

此時(shí)x＝0時(shí)，y取得最小值是10，

則有10＝k﹣1，

k＝11．

②當(dāng)3時(shí)，即k≤﹣6，

此時(shí)x＝3時(shí)，y取得最小值是10，

則有10＝32+3k+k﹣1，

k，不符合題意；

③當(dāng)03時(shí)，即﹣6＜k＜0，

此時(shí)x時(shí)，y取得最小值是10，

即k﹣1＝10，

此方程無實(shí)根，

綜上所述，k的值是11．