【題目】(問題呈現(xiàn))阿基米德折弦定理:

如圖1ABBCO的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦),BCAB,點(diǎn)M的中點(diǎn),則從MBC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn),即CDDB+BA.下面是運(yùn)用“截長法”證明CDDB+BA的部分證明過程.

證明:如圖2,在CD上截取CGAB,連接MA、MB、MCMG

M的中點(diǎn),

MAMC

又∵∠A=∠C

∴△MAB≌△MCG

MBMG

又∵MDBC

BDDG

AB+BDCG+DG

CDDB+BA

根據(jù)證明過程,分別寫出下列步驟的理由:

   ,

   ,

   ;

(理解運(yùn)用)如圖1AB、BCO的兩條弦,AB4,BC6,點(diǎn)M的中點(diǎn),MDBC于點(diǎn)D,則BD   ;

(變式探究)如圖3,若點(diǎn)M的中點(diǎn),(問題呈現(xiàn))中的其他條件不變,判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?并加以證明.

(實(shí)踐應(yīng)用)根據(jù)你對(duì)阿基米德折弦定理的理解完成下列問題:

如圖4BCO的直徑,點(diǎn)A圓上一定點(diǎn),點(diǎn)D圓上一動(dòng)點(diǎn),且滿足∠DAC45°,若AB6,O的半徑為5,求AD長.

【答案】(問題呈現(xiàn))相等的弧所對(duì)的弦相等;同弧所對(duì)的圓周角相等;有兩組邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;(理解運(yùn)用)1;(變式探究)DBCD+BA;證明見解析;(實(shí)踐應(yīng)用)7

【解析】

(問題呈現(xiàn))根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解;

(理解運(yùn)用)CDDB+BA,即CD6CD+AB,即CD6CD+4,解得:CD5,即可求解;

(變式探究)證明△MAB≌△MGBSAS),則MAMG,MCMG,又DMBC,則DCDG,即可求解;

(實(shí)踐應(yīng)用)已知∠D1AC45°,過點(diǎn)D1D1G1AC于點(diǎn)G1,則CG1+ABAG1,所以AG16+8)=7.如圖∠D2AC45°,同理易得AD2

(問題呈現(xiàn))

相等的弧所對(duì)的弦相等

同弧所對(duì)的圓周角相等

有兩組邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

故答案為:相等的弧所對(duì)的弦相等;同弧所定義的圓周角相等;有兩組邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;

(理解運(yùn)用)CDDB+BA,即CD6CD+AB,即CD6CD+4,解得:CD5,

BDBCCD651,

故答案為:1;

(變式探究)DBCD+BA

證明:在DB上截去BGBA,連接MA、MBMC、MG,

M是弧AC的中點(diǎn),

AMMC,∠MBA=∠MBG

MBMB

∴△MAB≌△MGBSAS

MAMG

MCMG,

DMBC,

DCDG,

AB+DCBG+DG,

DBCD+BA;

(實(shí)踐應(yīng)用)

如圖,BC是圓的直徑,所以∠BAC90°.

因?yàn)?/span>AB6,圓的半徑為5,所以AC8

已知∠D1AC45°,過點(diǎn)D1D1G1AC于點(diǎn)G1,

CG1+ABAG1

所以AG16+8)=7

所以AD17

如圖∠D2AC45°,同理易得AD2

所以AD的長為7

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB6AD8,點(diǎn)MN分別為AD,AC上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),ANDM,連結(jié)點(diǎn)M與矩形的一個(gè)頂點(diǎn),以該線段為直徑作⊙O,當(dāng)點(diǎn)N和矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)也在⊙O上時(shí),線段DM的長為_____

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【題目】如圖,是半徑為1的內(nèi)接正十邊形,平分

1)求證:

2)求證:

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【題目】如圖,ABO的直徑,ACAB,BCO于點(diǎn)D,點(diǎn)E在劣弧BD上,DE的延長線交AB的延長線于點(diǎn)F,連接AEBD于點(diǎn)G

1)求證:∠AED=∠CAD

2)若點(diǎn)E是劣弧BD的中點(diǎn),求證:ED2EGEA;

3)在(2)的條件下,若BOBFDE2,求EF的長.

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【題目】已知二次函數(shù)yx24x+3

1)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出它的圖象;

2)若三點(diǎn)Ax1,y1),Bx2,y2),Cx3y3)且2x1x2x3,則y1y2,y3的大小關(guān)系為   

3)把所畫的圖象如何平移,可以得到函數(shù)yx2的圖象?請(qǐng)寫出一種平移方案.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知:如圖,點(diǎn)CD、B、F在一條直線上,且ABBD,DEBD,ABCD,CEAF

求證:(1)△ABF≌△CDE;

2CEAF

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【題目】定義:三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段,且這兩條線段的積等于這個(gè)點(diǎn)到該邊所對(duì)頂點(diǎn)連線的平方,則稱這個(gè)點(diǎn)為三角形該邊的好點(diǎn)”.如圖1,ABC中,點(diǎn)DBC邊上一點(diǎn),連結(jié)AD,若,則稱點(diǎn)DABCBC邊上的好點(diǎn)”.

1)如圖2,ABC的頂點(diǎn)是網(wǎng)格圖的格點(diǎn),請(qǐng)僅用直尺畫出AB邊上的一個(gè)好點(diǎn)”.

2ABC中,BC=9,,,點(diǎn)DBC邊上的好點(diǎn),求線段BD的長.

3)如圖3ABC的內(nèi)接三角形,OHAB于點(diǎn)H,連結(jié)CH并延長交于點(diǎn)D.

①求證:點(diǎn)HBCDCD邊上的好點(diǎn)”.

②若的半徑為9,∠ABD=90°OH=6,請(qǐng)直接寫出的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,OAB邊上的點(diǎn),以O為圓心,OB為半徑的⊙0AC相切于點(diǎn)D,BD平分∠ABCADOD,AB12,求CD的長.

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【題目】某景區(qū)內(nèi)有一塊矩形油菜花田地(數(shù)據(jù)如圖示,單位:m.)現(xiàn)在其中修建一條觀花道(圖中陰影部分)供游人賞花.設(shè)改造后剩余油菜花地所占面積為ym2.

(1)yx的函數(shù)表達(dá)式;

(2)若改造后觀花道的面積為13m2,求x的值;

(3)若要求 0.5≤ x ≤1,求改造后剩余油菜花地所占面積的最大值.

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同步練習(xí)冊答案