【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AC⊥AB,BC交⊙O于點D,點E在劣弧BD上,DE的延長線交AB的延長線于點F,連接AE交BD于點G.
(1)求證:∠AED=∠CAD;
(2)若點E是劣弧BD的中點,求證:ED2=EGEA;
(3)在(2)的條件下,若BO=BF,DE=2,求EF的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)4.
【解析】
(1)可得∠ADB=90°,證得∠ABD=∠CAD,∠AED=∠ABD,則結(jié)論得證;
(2)證得∠EDB=∠DAE,證明△EDG∽△EAD,可得比例線段,則結(jié)論得證;
(3)連接OE,證明OE∥AD,則可得比例線段,則EF可求出.
(1)證明:∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°
∵AC⊥AB,
∴∠CAB=90°,
∴∠CAD+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAD,
∵=,
∴∠AED=∠ABD,
∴∠AED=∠CAD;
(2)證明:∵點E是劣弧BD的中點,
∴,
∴∠EDB=∠DAE,
∵∠DEG=∠AED,
∴△EDG∽△EAD,
∴,
∴ED2=EGEA;
(3)解:連接OE,
∵點E是劣弧BD的中點,
∴∠DAE=∠EAB,
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠AEO,
∴∠AEO=∠DAE,
∴OE∥AD,
∴,
∵BO=BF=OA,DE=2,
∴,
∴EF=4.
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【題目】張琪和爸爸到曲江池遺址公園運動,兩人同時從家出發(fā),沿相同路線前行,途中爸爸有事返回,張琪繼續(xù)前行5分鐘后也原路返回,兩人恰好同時到家張琪和爸爸在整個運動過程中離家的路點y1(米),y2(米)與運動時間x(分)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示
(1)求爸爸返問時離家的路程y2(米)與運動時間x(分)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)張琪開始返回時與爸爸相距多少米?
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【題目】如圖是“明清影視城”的一扇圓弧形門,小紅到影視城游玩,他了解到這扇門的相關(guān)數(shù)據(jù):這扇圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的,AB=CD=0.25米,BD=1.5米,且AB.CD與水平地面都是垂直的.根據(jù)以上數(shù)據(jù),請你幫小紅計算出這扇圓弧形門的最高點離地面的距離是( )
A.2米 B.2.5米 C.2.4米 D.2.1米
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【題目】在平面直角坐標系中,A、B、C三點的坐標分別為:A(1,4)、B(0,3)、C(3,0),若P為x軸上一點,且∠BPC=2∠ACB,則點P的坐標為_____.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線AB與x軸交于點B,與y軸交于點A,直線AB與反比例函數(shù)y=(m>0)在第一象限的圖象交于點C、點D,其中點C的坐標為(1,8),點D的坐標為(4,n).
(1)分別求m、n的值;
(2)連接OD,求△ADO的面積.
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【題目】(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖①,小明畫了一個等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外側(cè)分別以AB,AC為腰作了兩個等腰直角三角形ABD,ACE,分別取BD,CE,BC的中點M,N,G,連接GM,GN.小明發(fā)現(xiàn)了:線段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是__________;位置關(guān)系是__________.
(2)類比思考:
如圖②,小明在此基礎上進行了深入思考.把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形,其中AB>AC,其它條件不變,小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎?請說明理由.
(3)深入研究:
如圖③,小明在(2)的基礎上,又作了進一步的探究.向△ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD,ACE,其它條件不變,試判斷△GMN的形狀,并給與證明.
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【題目】如圖,菱形ABCD的邊AD⊥y軸,垂足為點E,頂點A在第二象限,頂點B在y軸的正半軸上,反比例函數(shù)y=(k≠0,x>0)的圖象經(jīng)過頂點C、D,若點C的橫坐標為5,BE=3DE,則k的值為______.
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【題目】在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,E是邊AD上的一個動點(與點A,D不重合),連接EO并延長,交BC于點F,連接BE,DF.下列說法:
① 對于任意的點E,四邊形BEDF都是平行四邊形;
② 當∠ABC>90°時,至少存在一個點E,使得四邊形BEDF是矩形;
③ 當AB<AD時,至少存在一個點E,使得是四邊形BEDF是菱形;
④ 當∠ADB=45°時,至少存在一個點E,使得是四邊形BEDF是正方形.
所有正確說法的序號是:_________.
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【題目】已知拋物線y=ax2﹣2ax+c(a<0)的圖象過點A(3,m).
(1)當a=﹣1,m=0時,求拋物線的頂點坐標_____;
(2)如圖,直線l:y=kx+c(k<0)交拋物線于B,C兩點,點Q(x,y)是拋物線上點B,C之間的一個動點,作QD⊥x軸交直線l于點D,作QE⊥y軸于點E,連接DE.設∠QED=β,當2≤x≤4時,β恰好滿足30°≤β≤60°,a=_____.
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