Question

【題目】如圖，拋物線 與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．

（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)P為AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、O、B除外），過(guò)點(diǎn)P作直線PN⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)N，交直線BC于點(diǎn)M．設(shè)點(diǎn)P到原點(diǎn)的值為t，MN的長(zhǎng)度為s，求s與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在（2）的條件下，試求出在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，由點(diǎn)O、P、N圍成的三角形與Rt△COB相似時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A、B、C在二次函數(shù)圖象上

∴把x=0代入 ，得y=2

把y=0代入 ，得x1=﹣1，x2=4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；

（2）

解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

把B（4，0），C（0，2）代入，得 ，

∴直線BC的解析式為

∵OP=t

∴P（t，0），M（t，﹣ t+2），N（t，﹣ t2+ t+2），

如圖，

∴S1=N1P1﹣M1P1=﹣ t2+ t+2﹣（﹣ t+2）=﹣ t2+2t（0＜t＜4），

S2=M2P2﹣N2P2=﹣ t+2﹣（﹣ t2+ t+2）= t2﹣2t（﹣1＜t＜0），

（3）

解：如圖，

①若△OPN∽△OCB，當(dāng)OP與OC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，則 ，即

化簡(jiǎn)得：t2+t﹣4=0，

解得： ， （不合題意，舍去）

②若△OPN∽△OBC，當(dāng)OP與OB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，則 ，即

化簡(jiǎn)得：t2﹣2t﹣4=0

解得：t3=1+ ，t4=1﹣ （不合題意，舍去）

∴符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，0）和（1+ ，0）．

【解析】（1）分別令y=0、x=0即可以求出A、B、C的坐標(biāo)，（2）應(yīng)分為點(diǎn)P在y軸的左側(cè)和點(diǎn)P在y軸的右側(cè)兩種情況，分別求s與t的函數(shù)關(guān)系式，MN的長(zhǎng)就是M、N兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的差，（3）在沒(méi)有確定對(duì)應(yīng)關(guān)系的情況下，兩三角形相似應(yīng)分兩種情況討論解決．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�