【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C是⊙O上一點,∠BAC的平分線AD交⊙O于點D,過點D垂直于AC的直線交AC的延長線于點E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)如圖AD=5,AE=4,求⊙O的直徑.

【答案】
(1)證明:連接OD,如圖所示:

∵AD為∠CAB的平分線,

∴∠CAD=∠BAD,

又∵OA=OD,

∴∠BAD=ODA,

∴∠CAD=∠ODA,

∴AC∥OD,

∴∠E+∠EDO=180°,

又AE⊥ED,即∠E=90°,

∴∠EDO=90°,

則ED為圓O的切線


(2)解:連接BD,如圖所示,

∵AB為圓O的直徑,

∴∠ADB=90°,

在Rt△ABD中,cos∠DAB= ,

在Rt△AED中,AE=4,AD=5,

∴cos∠EAD= ,又∠EAD=∠DAB,

∴cos∠DAB=cos∠EAD= = ,

則AB= AD= ,即圓的直徑為


【解析】(1)連接OD,由AD為角平分線,得到一對角相等,再由OA=OD,得到一對角相等,等量代換得到一對內(nèi)錯角相等,利用內(nèi)錯角相等兩直線平行可得AE與OD平行,由兩直線平行同旁內(nèi)角互補,得到∠E與∠EDO互補,再由∠E為直角,可得∠EDO為直角,即DE為圓O的切線,得證;(2)連接BD,由AB為圓O的直徑,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角,得到∠ADB為直角,在直角三角形ABD中,利用銳角三角函數(shù)定義得到cos∠DAB= ,又在直角三角形AED中,由AE及AD的長,利用銳角三角函數(shù)定義求出cos∠EAD的值,由∠EAD=∠DAB,得到cos∠EAD=cos∠DAB,得出cos∠DAB的值,即可求出直徑AB的長.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,直線a、b、c表示三條公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有_______處.

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【題目】某廣告公司招標了一批燈箱加工工程,需要在規(guī)定時間內(nèi)加工1400個燈箱,該公司按一定速度加工5天后,發(fā)現(xiàn)按此速度加工下去會延期10天完工,于是又抽調(diào)了一批工人投入燈箱加工,使工作效率提高了50%,結(jié)果如期完成工作.

(1)求該公司前5天每天加多少個燈箱;

(2)求規(guī)定時間是多少天.

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【題目】如圖,在△ABC中,AB=2,AC=BC=

(1)以AB所在的直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立直角坐標系如圖,請你分別寫出A、B、C三點的坐標;
(2)求過A、B、C三點且以C為頂點的拋物線的解析式;
(3)若D為拋物線上的一動點,當D點坐標為何值時,SABD= SABC;
(4)如果將(2)中的拋物線向右平移,且與x軸交于點A′B′,與y軸交于點C′,當平移多少個單位時,點C′同時在以A′B′為直徑的圓上(解答過程如果有需要時,請參看閱讀材料).
附:閱讀材料
一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法,對于一些特殊方程可以通過換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解.如解方程:y4﹣4y2+3=0.
解:令y2=x(x≥0),則原方程變?yōu)閤2﹣4x+3=0,解得x1=1,x2=3.
當x1=1時,即y2=1,∴y1=1,y2=﹣1.
當x2=3,即y2=3,∴y3= ,y4=﹣
所以,原方程的解是y1=1,y2=﹣1,y3= ,y4=﹣
再如x2﹣2=4 ,可設(shè)y= ,用同樣的方法也可求解.

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【題目】“十一”黃金周期間,深圳世界之窗風(fēng)景區(qū)在7天假期中每天旅游的人數(shù)變化如下表(正數(shù)表示比前一天多的人數(shù),負數(shù)表示比前一天少的人數(shù)):

日期

1日

2日

3日

4日

5日

6日

7日

人數(shù)變化

單位:萬人

+1.6

+0.8

+0.4

﹣0.4

﹣0.8

+0.2

﹣1.2

(1)請判斷七天內(nèi)游客人數(shù)最多的是   日,最少的是   日.

(2)以9月30日的游客人數(shù)為0點,用折線統(tǒng)計圖表示這7天的游客人數(shù)的變化情況.

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【題目】已知拋物線y=ax2+2x+c的圖象與x軸交于點A(3,0)和點C,與y軸交于點B(0,3).

(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上找一點D,使得點D到點B、C的距離之和最小,并求出點D的坐標解:;
(3)在第一象限的拋物線上,是否存在一點P,使得△ABP的面積最大?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論: ①4a﹣b<0;
②abc<0;
③a+b+c<0;
④a﹣b+c>0;
⑤4a+2b+c>0.
其中錯誤的個數(shù)有( 。

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

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【題目】如圖,拋物線 與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,連接BC.

(1)求點A、B、C的坐標.
(2)點P為AB上的動點(點A、O、B除外),過點P作直線PN⊥x軸,交拋物線于點N,交直線BC于點M.設(shè)點P到原點的值為t,MN的長度為s,求s與t的函數(shù)關(guān)系式.
(3)在(2)的條件下,試求出在點P運動的過程中,由點O、P、N圍成的三角形與Rt△COB相似時點P的坐標.

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【題目】如圖,是一臺自動測溫儀記錄的圖象,它反映了我市冬季某天氣溫T隨時間t變化而變化的關(guān)系,觀察圖象得到下列信息,其中錯誤的是( )

A. 凌晨4時氣溫最低為-3℃

B. 14時氣溫最高為8℃

C. 0時至14時,氣溫隨時間增長而上升

D. 14時至24時,氣溫隨時間增長而下降

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