【題目】問題提出:

(1)如圖①,若正方形的邊長為6,點分別為邊上的點,且交于點,連接,則

問題探究:

(2)如圖②,是等腰直角三角形,頂點分別在的兩邊上,試說明點的平分線上;

問題解決:

(3)如圖③,,是等邊三角形,頂點分別在的兩邊上,點上,且,連接,求的最小值.

【答案】13;(2)見解析;(33.

【解析】

1)先證明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,可得出四邊形GHEF是菱形,再根據(jù)全等三角形角之間的關(guān)系,又可得出菱形的一個角是直角,那么就可得出四邊形GHEF是正方形.過點O分別作OMAB于點M,ONBC于點N,根據(jù)AAS易得△EOM≌△FON,得出OC=OD,根據(jù)角平分線的判定定理可得OB平分∠ABC,根據(jù)BO=BD可得出結(jié)果..

2)過點O分別作OCAP于點C,ODPN于點D,證明△EOC≌△BOD,得出OC=OD,根據(jù)角平分線的判定定理可得出結(jié)果.

3)過點O分別作OCAP于點C,ODPN于點D,同(2)中證法可得點O在∠MPN的平分線上,連接PO,過點QQO′⊥PO于點O,QO′即為QO的最小值,在RtPQO′中求出QO′的值即可.

解:(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠A=B=C=D=90°,AB=BC=CD=DA,
HA=EB=FC=GD,
AE=BF=CG=DH,
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
EF=FG=GH=HE,
∴四邊形EFGH是菱形,
∵△DHG≌△AEH
∴∠DHG=AEH,
∵∠AEH+AHE=90°,
∴∠DHG+AHE=90°,
∴∠GHE=90°,
∴四邊形EFGH是正方形.

EO=FO,EOF=90°.

過點O分別作OMAB于點M,ONBC于點N,

根據(jù)AAS易得△EOM≌△FON

MO=NO,

BO平分∠ABC

BO=BD=BC=3.

圖①

2)過點O分別作OCAP于點C,ODPN于點D

∵∠APB=90°,

∴∠AOB=COD=90°,

∴∠AOC=BOD,

AO=BO,ACO=ODB,

∴△AOC≌△BODAAS),

CO=DO,

OCPM,ODPN

∴點的平分線上.

(3) 過點O分別作OCPM于點C,ODPN于點D,同(2)中證法可得點O在∠MPN的平分線上,連接PO,過點QQO′⊥PO于點O,QO′即為QO的最小值.

OP為∠MPN的平分線,

∴∠OPN=60°,

PQ=6,∴PO=3,

QO=3.

QO的最小值為3.

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