Question

2．如圖，在平面直角坐標系中，已知y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c（b、c為常數(shù)）的頂點為P，等 腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0，-1），點C的坐標為（4，3），直角頂點B在第四象限．
（1）若拋物線經(jīng)過A、B兩點，求拋物線的解析式．
（2）平移（1）中的拋物線，使頂點P在直線AC上沿AC方向滑動距離為$\sqrt{2}$時，試證明：平移后的拋物線與直線AC交于x軸上的同一點．
（3）在（2）的情況下，若沿AC方向任意滑動時，設(shè)拋物線與直線AC的另一交點為Q，取BC的中點N，試探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出點B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如答題圖2，設(shè)頂點P在直線AC上并沿AC方向滑動距離$\sqrt{2}$時，到達P′，作P′M∥y軸，PM∥x軸，交于M點，根據(jù)直線AC的斜率求得△P′PM是等腰直角三角形，進而求得拋物線向上平移1個單位，向右平移1個單位，從而求得平移后的解析式，進而求得與x軸的交點，與直線AC的交點，即可證得結(jié)論；
（3）如答圖3所示，作點B關(guān)于直線AC的對稱點B′，由分析可知，當B′、Q、F（AB中點）三點共線時，NP+BQ最小，最小值為線段B′F的長度．

解答 解：（1）∵等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0，-1），C的坐標為（4，3）
∴點B的坐標為（4，-1）．
∵拋物線過A（0，-1），B（4，-1）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{\frac{1}{2}×16+4b+c=-1}\end{array}\right.$，
解得：b=2，c=-1，
∴拋物線的函數(shù)表達式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+2x-1．
（2）如答題圖2，設(shè)頂點P在直線AC上并沿AC方向滑動距離$\sqrt{2}$時，到達P′，作P′M∥y軸，PM∥x軸，交于M點，
∵點A的坐標為（0，-1），點C的坐標為（4，3），
∴直線AC的解析式為y=x-1，
∵直線的斜率為1，
∴△P′PM是等腰直角三角形，
∵PP′=$\sqrt{2}$，
∴P′M=PM=1，
∴拋物線向上平移1個單位，向右平移1個單位，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+2x-1=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+1，
∴平移后的拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+2，
令y=0，則0=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+2，
解得x₁=1，x₂=5，
∴平移后的拋物線與x軸的交點為（1，0），（5，0），
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}（x-3）^{2}+2}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$
∴平移后的拋物線與AC的交點為（1，0），
∴平移后的拋物線與直線AC交于x軸上的同一點（1，0）．
（3）如答圖3，取點B關(guān)于AC的對稱點B′，易得點B′的坐標為（0，3），BQ=B′Q，取AB中點F，
連接QF，F(xiàn)N，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四邊形PQFN為平行四邊形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴當B′、Q、F三點共線時，NP+BQ最小，最小值為2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、幾何變換（平移，對稱）、等腰直角三角形、平行四邊形、軸對稱-最短路線問題等知識點，考查了存在型問題和分類討論的數(shù)學思想，試題難度較大，為二次函數(shù)中考壓軸題．